§ 7.5. АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА

Если середина параметризационного отрезка струны выбирается как выделенная точка, то становится возможным определить замкнутую алгебру струнных полевых функционалов. Струна, представленная может быть соединена со струной так, что их средние параметризационные точки точно совпадают. Производя спаривания осцилляторньц состояний этих двух струн, мы получаем еще одну струну той же длины. Тем самым определена операция, подобная умножению. Например абстрактное обозначение

конкретно означает

где мы спарили гармонические осцилляторы первой и второй струн и получили струну, определенную по третьим гармоническим осцилляторам. Так как все струны имеют одинаковые параметризационныс длины, правило умножения приводит к замкнутой алгебре, если средняя точка параметризационного отрезка выбирается как выделенная точка, т. е. произведение двух струн длины единица равно другой струне единичной длины. Это в свою очередь позволяет нам определить калибровочное преобразование полевого функционала следующим образом:

Определяя кривизну как

получаем, что

Следовательно, если мы можем определить операцию, называемую «интегрированием», которая сохраняет

(где для грассмановых нечетных форм используется знак антикоммутации), то сразу находим два инварианта - поверхностный член и самодействие:

Замечательное свойство этого подхода состоит в том, что, и в случае калибровочной теории, мы можем свести существени особенности теории к пяти «аксиомам»:

(1) Существование нильпотентной операции дифференцирования:

(2) Ассоциативность умножения:

(3) Правило Лейбница:

(4) Правило умножения:

(5) Правило интегрирования:

где есть — 1, если А - нечетный грассманов элемент, и если А - четный грассманов элемент.

Мы определяем операцию интегрирования следующим образом:

Оператор довольно странный объект. Его структура означает, что мы берем функционал струны находим среднюю параметризационную точку и затем интегрируем таким образом, что струна складывается сама с собой вокруг этой точки. Таким образом, под действием этой операции отождествления функционал струны превращается в с-число.

Можно также выписать явное представление этого оператора отождествления:

Кроме того, вершинная функция инвариантна относительно подгруппы Конформных преобразований, т. е. таких, которые не меняют расположения средней точки. Определим

На произведение форм этот оператор действует подобно производной:

Интегрирование удовлетворяет соотношению

тогда как вершинная функция подчиняется условию

Преимущество этого когомологического подхода состоит в том, что он

близко следует когомологической формулировке калибровочной теории использующей язык форм. Для уравнения Максвелла имеем

Поэтому в компактной форме теорию можно записать так:

Из этих уравнений определяются инварианты:

Сила метода BRST состоит в том, что он позволяет написать пять аксиом и определений форм кривизны, из которых легко показать калибровочную инвариантность действия. Эти элегантные аксиомы объединяют огромное количество информации, выражая струнную модель в пяти утверждениях.

Однако непонятность происхождения этих пяти аксиом составляет недостаток формализма BRST. В принципе эти пять аксиом можно с равным успехом применить к любой системе когомологий, но это ничего не говорит нам, откуда они происходят. Например, как мы видели, общую теорию относительности можно вывести из двух принципов. Эти принципы в свою очередь допускают возможность переформулировки в пять аксиом когомологии. Следовательно, пять аксиом не являются фундаментальными, а представляют собой только удобный и компактный метод для выражения тензорного исчисления. Поэтому мы ищем фундаментальные геометрические идеи, которые позволят нам вывести эти пять аксиом из основных принципов физики. Эти пять аксиом (т. е. тензорное исчисление) возникают естественным образом как результат введения новой бесконечномерной группы.