§ П.2. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В ОБЩУЮ ТЕОРИЮ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Наиболее общее преобразование координат пространства-времени дается формулой

При такой репараметризации использование правила дифференцирования сложной функции позволяет установить, что дифференциалы и частные производные преобразуются по формулам

Будем говорить, что дифференциал преобразуется контравариантным образом, а производная преобразуется ковариантным образом. По прямой аналогии теперь определим векторы, преобразующиеся точно так же:

Произвольный тензор просто преобразуется как произведение нескольких векторов. Число индексов тензора называется рангом тензора.

Теперь легко показать, что свертка ковариантного и контравариантного тензора является инвариантом:

Можно показать, что частная производная скаляра является вектором:

Фундаментальная проблема общей ковариантности, однако, возникает из-за того, что частная производная тензора не является тензором. Чтобы справиться с этой ситуацией, приходится ввести еще один объект, называемый символом Кристоффеля, который превращает производную тензора в настоящий тензор:

Потребуем, чтобы

Это в свою очередь однозначно определяет способ, которым преобразуется символ Кристоффеля: ясно, что он не является тензором.

Теперь мы, конечно, можем определить ковариантную производную контравариантного тензора:

Мы можем также сделать это для произвольного тензора ранга

Пока что мы не налагали никаких ограничений ни на символы Кристоффеля, ни даже на пространство-время. Теперь определим метрику на этом пространстве, определив инвариантное расстояние формулой

где метрический тензор, преобразующийся как настоящий тензор второго ранга.

Теперь ограничим класс рассматриваемых метрик, потребовав, чтобы ковариантная производная метрического тензора равнялась нулю:

Заметим, что для этого должны удовлетворяться

уравнений, что в точности совпадает с числом элементов символов Кристоффеля, если последние брать симметричными по нижним индексам. Поэтому мы можем полностью решить эту систему уравнений, выразив символы Кристоффеля через компоненты метрического тензора:

Заметим, что по предположению символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам. В общем случае это не так, и антисимметричные компоненты символа Кристоффеля называют тензором кручения:

В плоском пространстве справедливо уравнение

Поскольку производная от поля порождает параллельные переносы,

интуитивно смысл этого уравнения состоит в том, что в результате параллельного переноса вектора по замкнутому контуру мы получаем исходный вектор.

В искривленном пространстве, однако, это не обязательно справедливо. Параллельный перенос вектора вдоль замкнутого пути на сфере, например, приводит к некоторому повороту этого вектора после завершения обхода контура.

Можно также найти аналог предыдущего уравнения для искривленных многообразий. Мы можем рассматривать ковариантную производную как параллельное перемещение вектора, а символ Кристоффеля как меру отклонения от плоского пространства. Если теперь совершить полный обход, параллельно перемещая вектор вдоль замкнутого контура, то получим

где

Попытаемся теперь выразить действие в этом формализме. Сначала заметим, что объем области интегрирования не является подлинным скаляром:

Чтобы построить инвариант, нужно умножить эту величину на квадратный корень из детерминанта метрического тензора:

Произведение этих величин даст нам инвариант:

Заметим, что квадратный корень метрического тензора не преобразуется как скаляр, так как в (П.2.18) в качестве множителя входит якобиан преобразования. Будем говорить, что он преобразуется как плотность.

У тензора кривизны имеется две производные. Действительно, можно показать, что свертка тензора кривизны

является единственным скаляром, который можно построить из метрического тензора и символов Кристоффеля с двумя производными. Поэтому единственное возможное действие, обладающее двумя производными, это

Однако этот формализм нельзя обобщить так, чтобы включить в него спиноры. Если рассматривать матрицу преобразования

как элемент группы то окажется, что не существует конечномерного спинорного представления этой группы. Поэтому одних лишь метрических тензоров недостаточно для определения спиноров.

Чтобы найти выход из этого положения, построим плоское касательное пространство в каждой точке многообразия, обладающее симметрией Определим векторы в касательном пространстве, обозначив их латинскими индексами Определим тетраду как матрицу преобразования, осуществляющего переход от пространства к касательному пространству, и наоборот:

Определим теперь множество гамма-матриц, определенных как в касательном, так и в основном пространствах:

Тогда оператор производной, действующий на спинор, принимает вид

С помощью касательного пространства определим теперь ковариантную производную спинора

Здесь - антисимметричное произведение двух гамма-матриц, а называется спиновой связностью. Заметим, что спиновая связность - это настоящий тензор по индексу Под действием локального преобразования Лоренца поле преобразуется по формулам

Можно также использовать формализм группы для построения общей теории относительности и обойтись без символов Кристоффеля. Можно определить

где М суть образующие группы Лоренца. Тогда можно построить

где

Заметим, что этот тензор дает альтернативную форму тензора кривизны.

Мы также потребуем, чтобы ковариантная производная тетрады равнялась нулю:

Если антисимметризовать это уравнение по символы Кристоффеля исчезнут. Заметим, что спиновая связность имеет

компонент. Это в точности равно числу компонент в антисимметризованной версии уравнения (П.2.31). Поэтому мы можем его решить, выразив спиновую связность через тетраду. Символы Кристоффеля и тетрада суть очень сложные формы выражения друг друга.

Располагая этими выражениями для символа Кристоффеля и полей спиновой связности, мы можем теперь показать взаимоотношение между тензорами кривизны в этих двух формализмах:

Если взять произвольный спинор и параллельно переносить его вокруг замкнутого контура с площадью получим

Заметим, что матрицы суть образующие группы евклидовых лоренцевых преобразований Поэтому в результате параллельного переноса вдоль замкнутого контура спинор просто повернется относительно своей первоначальной ориентации на угол, пропорциональный

Заметим также, что, начиная из одной и той же точки, можно описать бесконечно много замкнутых контуров. При этом всякий раз спинор проделает некоторый поворот. Эти повороты образуют группу. Фактически эта группа есть просто и она называется группой голономий.