Глава 5. МНОГОПЕТЛЕВЫЕ АМПЛИТУДЫ И ПРОСТРАНСТВА ТЕЙХМЮЛЛЕРА

§ 5.1. УНИТАРНОСТЬ

Одна из наиболее привлекательных особенностей теории струн - это возможность создания теории гравитации, которая была бы полностью Дянитной и поэтому независящей от обычной теории перенормировки. Теория струн способна обеспечить такой подход, в рамках которого дервые может быть сформулирована финитная квантовая теория гравитации. Особенный интерес вызывает механизм, с помощью которого достигается устранение всех потенциальных расходимостей, а именно использование топологических соображений для устранения определенных типов расходимостей. Мы снова убеждаемся в огромной мощи симметрии, встроенной в струнную модель. Мы покажем, например, что потенциально расходящиеся диаграммы топологически эквивалентны испусканию эффективного дилатона. Поэтому, устраняя дилатон из теории, мы получаем теорию, свободную от каких-либо явных расходимостей. Итак, механизмы, ответственные за устранение потенциально опасных диаграмм, принципиально новы и никогда прежде не возникали в квантовой теории поля, использующей формализм точечных частиц.

До сих пор мы разрабатывали только первично квантованную теорию взаимодействия струн без петель. Этим способом, конечно, нельзя получить унитарную теорию. Бета-функция Эйлера, как мы показали выше, имеет полюсы в -плоскости на вещественной оси без мнимых частей или разрезов, и поэтому такая теория описывает лишь Древесные диаграммы. Прежде делались попытки модифицировать исходную бета-функцию, добавив мнимую часть к массе резонансов:

Однако при этом неизбежно разрушались замечательные свойства бета-функции.

Правильный способ сделать модель унитарной в конце концов предложили Киккава, Сакита и Вирасоро [1] в 1969 г.: добавить петли, рассматривая бета-функцию как борновский член пертурбативного подхода к определению -матрицы. Фактические многопетлевые амплитуды вычислили Каку, Яу, Лавлейс и Алессандрини [2-8].

Чтобы понять, как строятся ряды теории возмущений, начнем с оператора временной эволюции который преобразует начальное состояние с в конечное состояние с -матрица предана матричным элементом оператора

Поскольку оператор временной эволюции унитарен, то сама S-матрица тоже унитарна:

В матричной форме это записывается как

где разные суть полный набор промежуточных состояний. Если выделить состояние, соответствующее отсутствию рассеяния, мы получим матрицу:

Тогда

Если взять матричные элементы для рассеяния многочастичного начального состояния превращающегося в конечное многочастичное состояние то мы получим

(см. рис. 5.1). Если представить амплитуду рассеяния четырех струн как то ясно, что мы должны сочетать различные четырехточечные функции, чтобы получить следующий порядок теории возмущений. Поскольку струны могут перекручиваться, заметая двумерную поверхность, то набор фейнмановских диаграмм для петель шире, чем для простых плоских диаграмм. Фактически, как показывает рис. 5.2, существуют три типа диаграмм, которые можно построить с использованием оптической теоремы.

Для открытой струны взаимодействия заметают мировую поверхность, топологически эквивалентную диску с отверстиями. Кроме того,

Рис. 5.1. Унитарность -матрицы. Мнимая часть амплитуды рассеяния пропорциональна квадрату ее абсолютной величины. Этим способом мы можем построить диаграммы высших петель из древесных диаграмм более низкого порядка. Именно этим способом стремились обеспечить унитарность Киккава» Сакита и Вирасоро.

Рис. 5.2. Планарные, непланарные и неориентируемые однопетлевые диаграммы для открытых струн. Унитарность вынуждает нас сшивать графы этих трех типов. (Знак х на струне соответствует твистованной линии.) Неориентируемая диаграмма соответствует листу Мёбиуса. Непланарная диаграмма соответствует помещению нескольких внешних тахионных линий на границу внутренней петли.

диск может содержать «твисты». (Твист получается, если сделать разрез по линии, соединяющей два отверстия, а затем заклеить разрез, обратив ориентацию точек вдоль разреза.) Упомянутые выше три типа открытых струнных диаграмм следующие.

(1) Плоские диаграммы. Они топологически эквивалентны диску с отверстиями, проделанными в его внутренности, а внешние линии прикрепляются к его внешнему краю.

(2) Неплоские ориентируемые диаграммы. Здесь внешние линии могут прикрепляться как к внешнему краю, так и к некоторым внутренним отверстиям или же отверстия могут перекрываться.

(3) Неориентируемые диаграммы. У таких диаграмм поверхность диска содержит нечетное число твистов. Примером неориентируемой диаграммы служит лист Мебиуса.

Для замкнутой струны древесная диаграмма, заметаемая взаимодействующей струной, топологически эквивалентна сфере. Существует два типа петлевых диаграмм, которые можно построить из замкнутой струны. Прорежем отверстий на поверхности сферы и тщательно Пометим ориентацию тозек вдоль окружности, представляющей край каждого отверстия. Затем соединим пар отверстий, чтобы получить сферу с ручками. Эти два типа диаграмм следующие.

(1) Плоские диаграммы. В них ориентация кромок каждой пары

Рис. 5.3. Бутылка Клейна. Отождествляя противолежащие стороны прямоугольника, можно получить либо тор, либо (если обратить ориентации сторон) бутылку Клейна, изображенную на нижнем рисунке. Это двумерная замкнутая поверхность, у которой имеется только одна сторона.

отверстий сохраняется при повторном сшивании диаграммы (приклеивании ручек). Бублик, например, - это плоская однопетлевая диаграмма.

(2) Неориентируемые диаграммы. Пары точек, лежащие на замкнутых кромках отверстий, соединяются с обращением ориентации отверстий. Бутылка Клейна, например, является неориентируемой диаграммой (на рис. 5.3 показано, как можно склеить бутылку Клейна из плоской двумерной поверхности отождествлением отрезков ее границы). (Заметим, что бутылки Клейна встречаются в ряда теории возмущений только для струн типа I. Струны типа Н обладают собственной ориентацией и не могут порождать бутылки Клейна.)

В функциональном формализме мы показали выше, что все древесные диаграммы строятся вычислением функции Неймана для диска сферы [9-11]. Простейший способ вычисления этой функции Наймана состоял в конформном отображении диска или сферы на ясрхнюю полуплоскость или на всю комплексную плоскость. Мы тогда воспользовались методом, разработанным в электростатике, а именно методом изображений, чтобы выписать функцию Неймана

Теперь мы обобщим эти рассуждения на римановы поверхности с отверстиями. К счастью, математики давно вычислили функцию Неймана для диска и сферы с отверстиями. На самом деле Бернсайд решил эту задачу еще в 1891 году! Решения этой классической задачи выражены через автоморфные функции, которые мы сейчас проанализируем.