§ 1.7. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ

До сих пор мы исследовали лишь первично квантованный подход к квантовым частицам. Квантовались только векторы положения и импульса:

Ограниченность этого подхода, однако, скоро станет очевидной, как только мы введем взаимодействия. Допустим, что мы хотим описать точечные частицы, способные сталкиваться друг с другом и расщепляться, а не только двигаться в поле внешнего потенциала. Теперь нам придется модифицировать порождающий функционал, чтобы включить суммирование по фейнмановским диаграммам:

(Заметим, что мы сделали виковский поворот в интеграле по , чтобы экспонента сходилась. Так как показатель степени становится вещественным, из контекста будет ясно, когда в этой книге имеется в виду теория с таким поворотом. Мы не будем обсуждать тонкий вопрос о сходимости континуального интеграла.)

Другими словами, нам придется вручную просуммировать по всем топологиям частиц, если частицы могут расщепляться и преобразовываться. Каждая топология представляет развитие во времени траекторий всех точечных частиц в ходе взаимодействия. Амплитуду N-частичного рассеяния с импульсами, заданными набором можно теперь представить в виде

Заметим, что мы берем преобразование Фурье от функции Грина, так что амплитуда является функцией внешних импульсов. Эту формулу удобнее представить в виде

Тем самым мы приписываем множитель каждой внешней частице. Он происходит из соответствующего слагаемого преобразования Фурье. Эта формула для амплитуды рассеяния, выведенная посредством континуального интеграла, важна тем, что почти без изменений переносится в формализм теории струн.

Обратите внимание, насколько неуклюже такое описание. Нам поиходится устанавливать все топологически разрешенные конфигурации и их веса вручную. Кроме того, унитарность -матрицы вовсе не очевидна.

В описании методом вторичного квантования, однако, мы вводим поле и квантовые отношения между самими полями, а не между переменными:

Преимущество подхода вторичного квантования заключается в возможности выписать в явном виде гамильтониан взаимодействия, и не придется вводить суммирование по топологиям. Достаточно показать, что этот гамильтониан эрмитов, чтобы зафиксировать веса всех диаграмм и продемонстрировать унитарность -матрицы.

Подытожим достоинства и недостатки методов первичного и вторичного квантования:

Первичное квантование

(1) Взаимодействия нужно складывать вручную, порядок за порядком относительно постоянной взаимодействия.

(2) Унитарность окончательной -матрицы не очевидна. Она должна быть проверена в каждом порядке.

(3) Формализм с необходимостью строится в рамках теории возмущений, поскольку разложение по топологиям тесно связано с разложением по порядку постоянной взаимодействия.

(4) Трудно описать теорию вне массовой поверхности.

Вторичное квантование

(1) Взаимодействия явным образом включены в само действие.

(2) Унитарность гарантирована, если гамильтониан является эрмитовым.

(3) Формально теорию можно описать и в рамках теории возмущений, и вне этих рамок.

(4) Теория с необходимостью формулируется вне массовой поверхности.

Переход от теории первичного квантования к теории вторичного квантования также легче всего осуществить в формализме континуального интеграла в кулоновской калибровке. Ранее мы показали, что функция Грина для распространения свободной точечной частицы может быть вычислена явно:

Эту функцию Грина также можно записать в стиле вторичного

квантования. Начнем с гамильтониана:

Функция Грина удовлетворяет уравнению

Разрешая его относительно этой функции Грина, находим

где мы рассматриваем функцию, обратную функции Грина, таким образом, как если бы она была дискретной матрицей в пространстве а тривиальные нормирующие множители опущены. Это позволяет записать интеграл в форме вторичного квантования. Чтобы это показать, мы применим следующие тождества, которые будут использоваться на протяжении всей книги:

(Эту интегральную формулу легко вывести, используя ранее полученную формулу для гауссова интеграла (1.3.18). Мы просто диагонализуем матрицу А, сделав замену переменных в пространстве Тогда квадратичный член в подынтегральном выражении станет функцией собственных значений матрицы А. Поскольку все моды теперь стали независимы, интеграл Гаусса можно вычислить точно дополнением до полного квадрата. Наконец, делаем обратное преобразование от собственных значений матрицы А к самой исходной матрице А.)

Отсюда можно вывести следующие интегральные формулы:

Это некоторые из самых важных интегральных формул этой книги. С их помощью мы можем теперь переписать функцию Грина целиком на языке вторично квантованных полей:

где

где мы снова рассматриваем так как если бы эта функция была дискретной матрицей в дискретизированном пространстве

В итоге у нас есть два альтернативных описания точечной частицы, дополняющих друг друга: теорию можно излагать либо в терминах координат частицы либо в терминах полей

На уровне свободных частиц оба описания полностью эквивалентны и в смысле легкости описания, и математически. Однако при описании взаимодействий появляются четкие отличия. Например, легко написать

и мы можем быть уверены, что получим унитарное описание взаимодействующего поля. Однако в подходе первичного квантования сумма по топологиям

является неудобным способом описания унитарной теории. Нам придется проверять унитарность в каждом порядке все более сложных диаграмм. Кроме того, первично квантованное описание с необходимостью проводится в рамках теории возмущений. Сумма по топологиям в континуальном интеграле первичного квантования является суммой по фейнмановским диаграммам теории возмущений, так что теория с самого начала с необходимостью формулируется в рамках этой теории возмущений. Это важнейшая причина, по которой мы разделили эту книгу на части, отвечающие первичному и вторичному квантованию.