Глава 7. ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ BRST

§ 7.1. КОВАРИАНТНАЯ ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ СТРУН

Большое преимущество полевой теории в калибровке светового конуса, как мы видели, заключалось в том, что она была унитарной явно свободной от духов и могла воспроизвести струнные амплитуды из одного действия. Отсутствовала необходимость обращаться к интуиции для построения унитарной -матрицы.

Тем не менее эта теория несовершенна. Дело в том, что хотелось бы иметь ковариантное описание, в котором задействованы все калибровки струны. Поэтому наш следующий шаг в развитии полевой теории струн - это использование техники BRST для ковариантного описания струнных полей. Сила формализма BRST обусловливается тем, что позволяет переформулировать полевую теорию струн в полностью ковариантном виде с введением духов Фаддеева-Попова.

Мы перейдем к полевой теории тем же способом, каким Фейнман пришел к уравнению Шрёдингера из классической первично квантованной теории. Начав с формализма BRST первично квантованной теории, мы затем получим описание на языке полевых функционалов. Особое внимание следует обратить на то, что полевая теория BRST, подобно формализму светового конуса, все еще остается теорией в фиксированной калибровке. Поскольку теория BRST будет выведена из калибровочно фиксированной первично квантованной теории, то мы обнаружим довольно странные объекты первично квантованной теории, наследуемые вторично квантованной теорией, такие, как духи Фаддеева - Попова, духовые числа, параметризационные средние точки и параметризационные длины.

В этом тоже есть некоторая ирония. Первоначально полевая теория в калибровке светового конуса была введена, чтобы представить последовательный и всесторонний формализм, в рамках которого можно выразить полную теорию. К сожалению, попытки сделать модель ковариантной привели к созданию двух конкурирующих ковариантных полевых теорий струн в рамках BRST. Эти две BRST-теории основываются на совершенно различных струнных топологиях, и между ними не видно никакой связи, кроме того, что они обе могут успешно воспроизвести модель Венециано.

Все эти трудности будут устранены, когда мы, наконец, дойдем до геометрического варианта полевой теории в следующей главе.

Ранее мы видели, что формализм Гупты-Блейлера вместо решения уравнений связей (как в формализме светового конуса) налагает связи непосредственно на состояния:

Естественно ожидать, что действие позволяет распространяться всем 26 компонентам теории. Это, однако, не так, если мы позаботимся учесть влияние связей, наложенных на векторы состояний. Результат применения предыдущего уравнения состоит в уничтожении духовых состояний в спектре.

Кроме того, существует другой способ устранения духовых состояний - действовать по аналогии с калибровочной теорией. Вместо наложения связей на гильбертово пространство, мы потребуем, чтобы действие было инвариантным при преобразованиях, превращающих поле Ф в духовое состояние:

Отметим, что состояние является духовым состоянием (см. (2.9.3)). Такой выбор мотивируется аналогией с электромагнетизмом, где имеется калибровочная симметрия:

Действие для поля Максвелла остается неизменным при добавлении толю духового поля Докажем теперь, что струнная вариация действительно содержит калибровочные вариации как поля Максвелла, так и линеаризованного гравитационного поля. Как мы видели в (6.3.19), полевой функционал представляет сумму по всем возможным состояниям струны. Разложим поля по их компонентам:

Подставляя это разложение в калибровочное преобразование струнного поля (7.1.2), находим

Приравнивая члены разложения, получаем (7.1.3). Таким образом, мы вывели калибровочное преобразование поля Максвелла, раскладывая полевой функционал [1-3].

Подобным образом можно также доказать, что сектор замкнутых струн содержит линеаризованное гравитационное поле. Потребуем

где черта означает второе независимое гильбертово пространство. Раз - это выражение, приходим к

Объединяя все вместе, получаем

Приравнивая коэффициенты, находим

т. е. восстанавливается первоначальная вариация линеаризованного гравитационного поля.

Наша следующая цель - найти действие, которое было бы инвариантным при таких калибровочных преобразованиях.

Повторим рассуждения предыдущей главы, касающиеся того, как вывести полевую теорию струн из первично квантованного формализма. Ключевой шаг заключался в подстановке полного набора промежуточных состояний в каждую промежуточную точку между двумя струнными состояниями. Теперь подстановка промежуточных состояний осложняется необходимостью сохранения калибровочных связей на каждом шаге вычислений. Обобщая (6.3.29), находим, следовательно, новый ряд промежуточных состояний

где Р - проекционный оператор, который гарантирует, что духовые состояния уничтожаются на каждом промежуточном шаге вычислений. Он удовлетворяет условиям [4]

Повторяя шаги предыдущей главы, использованные при выводе лагранжиана из континуального интеграла, находим, что теперь действие должно иметь вид

Важнейшее значение имеет тот факт, что это действие обладает локальной калибровочной симметрией (7.1.2). Локальная калибровочная симметрия отвечает за уничтожение духов, возникающих в пропагатор» который без проекционного оператора описывал бы распространение всех 26 мод.

Окажется полезным разложить это действие в степенной ряд и затем сравнить результаты с максвелловским действием и действием для гравитационного поля. В низшем порядке проекционный оператор в действии можно переписать в виде

Так как то, разложив это выражение для наинизших возбужденных состояний, получим

что сводится к

что, конечно, пропорционально действию Максвелла. Следовательно, в наинизшем порядке действие (7.1.10) содержит теорию Максвелла. Подобным же образом можно повторить все рассуждения и показать, что действие замкнутой струны воспроизводит линеаризованное гравитадионное действие. На следующем уровне, однако, имеются сложности.

В результате трудоемких вычислений мы можем разложить проекционный оператор до следующих уровней и найти

где

Оператор А нелокальный, так как он содержит обратный к полиному по Л Например, известно, что оператор нелокален, потому что он равен фейнмановскому пропагатору в х-пространстве:

Поскольку х и у - две различные точки пространства, выражение в -пространстве оказывается нелокальным.

К счастью, существует способ устранения нелокальностей, вносимых Полиномами от который состоит во введении дополнительных полей. Например, рассмотрим лагранжиан

где А и В - операторы. Устраняя поле (решая уравнение движения для и подставляя его обратно в лагранжиан или выполняя функциональное интегрирование по в континуальном интеграле), находим редуцированный лагранжиан:

Если А - полином от то - нелокальный оператор. Таким образом, мы можем избавиться от нелокальных действий путем введения

дополнительных полей. Так как эти произвольные поля выпадают из окончательного действия (поскольку представляют собой духи), они никак не влияют на физику.

Теперь нам нужно построить явную форму полного проекционного оператора для всех уровней. Оператор Р можно построить несколькими способами, представив его как степенное разложение по операторам I или как проектор на каждое состояние уровня. Мы воспользуемся последней из этих возможностей.

Сначала определим модуль Верма (см. (4.1.42)) как ряд всех возможных повышающих операторов действующих на вакуум

Здесь символически представляет обширную совокупность индексов. Предположим, что проекционный оператор Р имеет вид

где - произвольные функции символы а и Р используются для выражения большого количества индексов. Потребовав, чтобы результат умножения оператора Р на операторы Вирасоро обращался в нуль, мы точно определим матрицу Пусть Р представляет духовый проекционный оператор. Тогда

Здесь в явном виде выписана сумма по различным уровням Требуя, чтобы оператор обращался в нуль при умножении на мы получаем рекуррентное соотношение для полиномов Определим -матрицу как

где матрицы А и остается определить. Потребовав, чтобы оператор Р обладал нужными свойствами, получаем рекуррентное соотношение, позволяющее найти матрицу Л итеративно:

И наконец, матрица определяется как

где - физическое состояние, а равняется

Отметим, что это разложение является итерационным. уровень определяется через все и более низкие состояния. Таким образом, зная проекционный оператор для первых нескольких уровней, который был явно выписан в (7.1.14), мы находим проекционный оператор на всех уровнях

Проекционный оператор нелокален по Но так как мы можем вычислить точно, это легко исправимо, поскольку нам известно точное расположение всех нулей детерминанта.

К счастью, детерминант матричных элементов модуля Верма известен точно. Так, на уровне детерминант матричного элемента между имеет вид

где и - целые положительные числа, произведение которых меньше или равно Эта замечательная формула, впервые полученная Кацем [5], имеет многочисленные ответвления. Например, ненулевой детерминант Каца означает, что матрица введенная в (7.1.23), является обратимой. В этом случае модуль Верма образует неприводимое представление конформной группы. Следовательно, детерминант Каца является существенным элементом в определении неприводимых представлений струнной модели.

Основное применение этого результата заключается в определении расположения всех нулей детерминанта и, следовательно, в определении всех полюсов проекционного оператора. Подставляя (7.1.19) в действие, находим

Здесь связана с умножением на Преимущество такого выражения Состоит в знании расположения всех полюсов матрицы

Повторим анализ (7.1.16) и (7.1.17), где были введены дополнительные поля, для того чтобы поглотить нелокальные члены в действии, чала выделим в полюса:

Теперь мы можем ввести вспомогательные поля для поглощения дополнительных нелокальных членов, содержащихся в

Итак, посредством таких рассуждений мы показали, что действие можно переписать в форме, явно локальной по Однако цена, которой мы добились локальности, - это введение бесконечного набора вспомогательных полей . Поиск простого способа, позволяющего компактно представить эту формулу, составляет нашу следующую задачу.

Для того чтобы переписать члены вышеприведенного действия более элегантно, понадобится использовать мощь симметрии. Во-первых, мы применим формализм BRST, в котором эти дополнительные поля можно проинтерпретировать как «духовые степени свободы Фаддеева-Попова». При этом окажется, что поля допускают представление в терминах состояний, определенных для антикоммутирующих духовых полей.

Во-вторых, тот факт, что эти дополнительные поля образуют модуль Верма, служит указанием на теоретико-групповое происхождение духовых полей. Духовые поля BRST сами по себе - странные объекты во вторично квантованной полевой теории, но присутствие модуля Верма показывает, что они на самом деле представляют собой проявление более глубокой симметрии. Это ключевое наблюдение о том, что дополнительные поля образуют пространство представления конформной группы, данное модулем Верма, сыграет решающую роль в развитии геометрической формулировки теории в следующей главе. Геометрический формализм гл. 8 позволит нам перегруппировать члены в приведенном выше действии компактным теоретико-групповым способом, основанным на тензорном произведении неприводимых представлений новой бесконечномерной группы Ли. Мы покажем, что этй духовые поля представляют касательное пространство новой бесконечномерной группы Ли.