§ П.3. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФОРМ

Определим один-форму А выражением

где есть векторное поле, а дифференциалы

антикоммутируют:

Определим оператор производной как

Заметим, что поскольку производные коммутируют,

то

где оператор нильпотентен.

Теперь определим два-форму:

Заметим, что кривизна векторного поля является два-формой:

Поскольку оператор нильпотентен, имеем

Таким образом, тождества Бьянки для теории Максвелла, выраженные на языке форм, суть не что иное, как нильпотентность оператора Форма со называется замкнутой, если

Форма со называется точной, если

для некоторой формы Таким образом, форма кривизны является точной, поскольку она может быть записана как дивергенция один-формы А. Она также является замкнутой вследствие тождеств Бьянки.

Все это можно также объединить с локальной калибровочной группой, порожденной образующими Пусть

Тогда форма кривизны есть

Далее, калибровочная вариация поля Янга-Миллса при преобразовании

равна

Подставляя вариацию поля А в кривизну получаем

Итак, вариация действия равна нулю:

Теперь выпишем аномальный член выразив его на языке форм. Дивергенция аксиального тока также является квадратом двух величин, выражающих кривизну, что также дает полную производную. На языке форм, это, как мы увидим, есть точная форма:

где

- это три-форма, которую мы назовем формой Черна-Саймонса. В свою очередь ее калибровочная вариация равна еще одной форме, которая также является точной:

где

Заметим также, что эти тождества в равной мере применимы и к теориям Янга-Миллса, и к общей теории относительности. Для теории тяготения имеем калибровочную группу Другими словами, гравитационное поле обладает двумя калибровочными симметриями, а именно общей ковариантностью по координатам х-пространства и локальными лоренцевыми преобразованиями касательного пространства. Подробнее это будет объяснено ниже.

В общем случае -форма определяется как

Все выписанные выше уравнения, конечно, можно вывести без использования теории форм. Однако формы обеспечивают мощную и компактную нотацию, позволяющую манипулировать сложными математическими объектами. Заметим, например, что теорема Стокса, выраженная на языке форм, принимает вид

где есть граница многообразия М.

Вот некоторые простые свойства этих форм:

Введем также новый оператор-звезду Ходжа, позволяющую брать форму, двойственную к -форме, и превращать ее в -форму в -мерном пространстве:

Вот некоторые свойства этого оператора:

В оставшейся части этого раздела мы докажем приведенное в гл. 9 утверждение о том, что всякий инвариантный полином является одновременно замкнутой и точной формой. Определим инвариантный полином как такой полином, который удовлетворяет условию

Начнем с определения однородного инвариантного полинома степени зависящего от форм

Продифференцируем этот полином, тщательно выписывая производные каждой формы, содержащейся в Р:

Всякий раз, когда оператор производной проходит над формой он приобретает соответствующий множитель:

Теперь предположим, что

Для близких к единице, всегда можно записать

Вычислим вариацию однородного полинома Р степени при таком сдвиге:

фокус теперь будет состоять в том, что мы сложим вклады от и от

Теперь положим, что каждая а, является формой кривизны, подчиняющейся тождеству Бьянки Таким образом, получаем

что и утверждалось.

Вторая часть доказательства несколько сложнее. Определим

Теперь наш план состоит в том, чтобы для некоторой формы показать выполнение равенства

Сначала мы хотим выписать форму кривизны, позволяющую непрерывно интерполировать между и Пусть

Заметим, что переменная позволяет интерполировать между этими двумя формами:

Теперь легко найти форму кривизны, осуществляющую эту интерполяцию, как функцию

где

Эта форма изменяется между и когда изменяется от нуля до единицы.

Теперь выпишем форму такую что

где форма а повторяется раз в инвариантном полиноме. Эта форма будет играть ключевую роль в доказательстве того, что Р является точной формой.

В силу приведенного выше рассуждения при дифференцировании

получим

Но в силу того факта, что является инвариантным полиномом, мы получаем также тождество

В (П.3.43) мы использовали

Собирая вместе оба эти уравнения, находим

Таким образом, мы приходим к следующему результату:

Итак, мы получили наш окончательный результат:

Таким образом, инвариантный полином, основанный на два-формах кривизны, является одновременно замкнутой и точной формой.