§ 5.8. КОНФОРМНАЯ АНОМАЛИЯ

Заметим, что мы можем избавиться от интегрирования по объему группы репараметризаций, поскольку

Затем мы хотим устранить член, связанный с вейлевским изменением масштаба:

Однако интегрирование по масштабному параметру с существенно сложнее, поскольку члены, содержащие от, присутствуют и в других компонентах меры. Поэтому нам необходимо очень тщательно извлечь все зависящие от от члены из каждого из оставшихся компонентов, прежде чем мы сможем устранить член, связанный с вейлевским изменением масштаба. Окажется, что вейлевский фактор также можно будет извлечь из компонентов меры, но лишь в том случае, когда размерность пространства-времени равна 26! Вычисление конформной аномалии довольно сложно, так что мы лишь наметим основные вехи этого вычисления.

Сначала заметим, что член уже обладает вейлевской инвариантностью. В самом деле, осуществив масштабное преобразование по формулам

мы видим, что в силу определения этот член таким преобразованием не меняется. (Переменная не изменяется под действием масштабного преобразования Вейля.)

Следовательно, единственный член, который должен нас беспокоить,

(Штрих по-прежнему означает, что мы извлекли из этого выражения нулевую моду детерминанта.)

К счастью, извлечение вейлевского масштабного параметра можно выполнить одновременно для обоих членов, если воспользоваться неко. торыми фактами теории римановых поверхностей. Для этого нужно переписать и таким образом, чтобы все три этих оператора были выражены через один и тот же дифференциальный оператор. Пусть

представляет произвольный тензор, заданный на двумерной римановой поверхности. Конечно, мы всегда можем переписать этот тензор через комплексные переменные и Обозначим через множество всех тензоров Т, которые в этих переменных преобразуются определенным образом, а именно

(см., например, (2.7.6) и Ясно, что оператор

отображает тензор Т в другой тензор. Более точно, он отображает К в

Возможно также определить оператор, действующий в обратном направлении. Оператор

отображает

Теперь определим операторы

и

Используя эти обозначения, можно показать, что

Таким образом,

Поскольку лапласиан с индексом «+» комплексно сопряжен лапласиану с индексом «-», то

Наконец, мы можем определить также

Вооружась этими определениями, мы теперь выразим детерминант в виде

Другими словами, обе части якобиана, которые на первый взгляд несхожи, представлены теперь одним и тем же оператором где Осталось вычислить вариацию предыдущего выражения при вейлевском изменении масштаба. Удобно записать соответствующее выражение через тепловое ядро детерминанта:

Здесь - малое число. С помощью этого уравнения мы можем выразить вариацию детерминанта, связанную с вейлевским изменением масштаба. Соответствующее вычисление довольно сложно, так что мы просто приведем окончательный результат [22-24]:

Здесь -свернутый двумерный тензор кривизны. Итак, нам нужно вычислить этот фактор при и при Окончательный результат дается формулой

Заметим, что при конформная аномалия исчезает. Итак, мы показали, что

Итак, наш окончательный результат для функционала есть

где все члены вычислены с использованием метрики в которой параметр от был полностью устранен. Итак, наша цель получить (5.7.16) теперь достигнута, по крайней мере в 26-мерном пространстве - времени.

Теперь, когда мы разработали этот мощный формализм, удобно свести этот случай к проблеме однопетлевой амплитуды и снова вывести наш ранее полученный результат (5.3.12) в свете новых возможностей для римановых поверхностей [25].

Для однопетлевой диаграммы интересующая нас область есть поверхность тора. Метрика плоской поверхности соответствует решетке в комплексной плоскости

Здесь -произвольное целое число. Таким образом, интересующая нас область полностью определяется отношением

и тем фактом, что фундаментальная область нормируется так, чтобы ее площадь равнялась единице. Тогда группа классов отображений есть просто а фундаментальную область, как и прежде, можно взять следующей

Меру

можно еще более упростить. Например, (5.8.26) равно

где

Инвариантная мера, как и прежде, может быть записана в виде

Собирая все вместе, получаем в итоге