§ 7.8. РЕЗЮМЕ

Исходным пунктом ковариантного калибровочного подхода было построение теории, инвариантной относительно преобразования

Мы постулировали эту инвариантность, основываясь на аналогии с теорией Янга-Миллса, которая также инвариантна относительно преобразований, превращающих поле в духовые поля. Фактически, раскладывая предыдущее уравнение, мы в точности получим линейную часть вариации теории Янга-Миллса

где Р - проекционный оператор. Путем степенного разложения можно получить точное решение этой калибровочной проблемы:

на свободном уровне данное выражение воспроизводит обычное действие Максвелла. Посредством «грубой силы» решение может быть также написано для высших порядков:

Здесь

а - проекционный оператор, уничтожающий духовые поля. Эта теория нелокальна, что означает необходимость включения в нее дополнительных полей для поглощения нелокальных членов.

Потребность в дополнительных полях появляется уже в методе BRST-квантования. Отметим, что духи Фаддеева-Попова распространяются в свободной теории:

Поэтому континуальный интеграл нужно модифицировать так, чтобы учесть эти дополнительные степени свободы. Гильбертово пространство нашего полевого функционала должно быть теперь расширено:

Это означает, что функции Грина представляются теперь в виде

BRST-квантование вводит новый нильпотентный оператор такой что

Таким образом, действие свободной теории может быть просто выражено в виде

Обобщение его на теорию взаимодействий можно выполнить, использу технику функций Неймана. Нам нужно конформное преобразование переводящее верхнюю полуплоскость в полностью симметричную конфигурацию. Один из способов это сделать состоит в том, чтобы сшить отображения шести зарядов, чтобы получить трехструнную вершину.

Это позволяет написать явную формулу для вершинной функции:

Одно из главных преимуществ подхода BRST - это формализм, в котором все может быть сведено к основным предположениям данной теории. Оказывается, что с помощью пяти аксиом, которые просто постулируются, мы можем вывести всю теорию BRST:

(1) Существование нильпотентной операции дифференцирования:

(2) Ассоциативность умножения

(3) Правило Лейбница:

(4) Правило умножения:

(5) Правило интегрирования:

Используя эти правила, мы можем теперь показать, что инвариантное действие есть

представляющее собой члены Черны-Саймонса.

Наконец, можно убедиться, что трехструнная вершинная функция эквивалентна на массовой поверхности обычной вершине Венециано:

Следовательно,

Здесь имеется, однако, одно смущающее обстоятельство. Дело в том, что мы можем определить ковариантным образом вершину в формализме светового конуса и показать, что она также эквивалентна на массовой поверхности обычной вершине Венециано. Таким образом, мы сталкиваемся в рамках подхода BRST с двумя эквивалентными вершинными функциями, приводящими на массовой поверхности к одинаковым результатам.

Хотя открытые бозонные струны было относительно легко выразить на языке BRST, этот подход для суперструн и замкнутых струн оказался гораздо менее успешным. Проблема заключается в том, что наивная «духовая арифметика» суперструнных действий и действий для замкнутых струн дает неправильные результаты:

Для изменения суммирования духов было предложено несколько способов, состоящих в «транкировании» либо гильбертова пространства, либо оператора до получения нужных духовых чисел. Проблема, связанная с тем, что при этом нулевые моды трактуются отлично от Других мод, вероятно, приводит к нарушению локальности по , следовательно, к невозможности обобщения этого подхода на случай взаимодействий.

Более обещающий подход заключается в том, чтобы ввести бозонизированные духовые операторы, имеющие недостающие духовые числа, и затем вставить их в средних точках, где мы не нарушаем локальность по ст. Такой подход, по-видимому, хорошо работает для врытых суперструн, но терпит неудачу для замкнутых струн, потому что выделение «средних точек» нарушает модулярную инвариантность.

Такая ситуация является лишь проявлением более глубокой проблемы. BRST-теория просто постулируется без всякого вывода, в ее основе отсутствуют какие бы то ни было физические и геометрические принципы. Таким образом, она не может быть окончательной теорией. Наличие двух эквивалентных вершинных функций показывает, что это, по сути, теория в фиксированной калибровке. Теперь мы должны Ратиться к геометрическому варианту теории, в котором все можно вывести из фундаментальных принципов.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)