§ 10.8. ДЕСЯТИМЕРНАЯ ТЕОРИЯ БЕЗ СУПЕРСИММЕТРИИ

Материал предыдущих параграфов продемонстрировал решающую роль модулярной инвариантности при установлении свойств гетеротической струны. Естественно возникает вопрос: можно ли построить

новую теорию струн, такую, чтобы она была модулярно инвариантной но могла бы иметь другую калибровочную группу и другие свойства?

Ранее мы видели, что левый сектор гетеротической струны, описьь ваемый обычно с помощью бозонного поля , можно записать в терминах фермионных полей. Теперь мы хотим показать, что, изменяя граничные условия для фермионных полей, можно получить другую 10-мерную теорию струн, по-прежнему являющуюся модулярно инвариантной, но с полностью нарушенной суперсимметрией. При этом калибровочная группа нарушена до Преимущество этой новой версии заключается в том, что теория становится свободной от аномалий и не содержит тахионов. (Однако она не является ни суперсимметричной, ни конечной.) Такую теорию струн можно рассматривать как некоторую разновидность гетеротической струны.

Введение этой новой струны основано на наблюдении гл. 5, состоящем в том, что теория NS-R (без проекции не является ни модулярно инвариантной, ни суперсимметричной. Выбор граничных условий NS-R обычно осуществляется только для координаты о. Однако в общем случае модулярное преобразование отображает область на Поскольку модулярное преобразование может поменять ролями следует быть осторожными при выборе граничных условий также и по координате х. Таким образом, непосредственное суммирование по состояниям NS-R в замкнутой петле будет в общем случае нарушать модулярную инвариантность.

Если мы рассмотрим замечания, сделанные в разд. 5.9, то получим, что прямое взятие следа только подсчитывает комбинации

Однако модулярное преобразование может переставить эти граничные условия. Преобразование

заменяет на Это соответствует разрезанию тора вдоль линии и склейке после поворота на угол С другой стороны, преобразование

меняет ролями , следовательно, заменяет на хотим просуммировать по всем четырем возможным граничным условиям:

Такая комбинация граничных условий является модулярно инвариантной,

так как модулярное преобразование просто меняет граничные условия для таких полей.

Чтобы вычислить след для измененных граничных условий, мы всегда можем вставить оператор где - фермионное число, что обращает граничные условия по на противоположные. След вычисляется по следующим конфигурациям:

Таким образом, полная сумма по всем четырем граничным условиям получается сложением

Подчеркнем, что оператор вставленный в (10.8.6) под знак суммы, в точности совпадает с проекционным оператором Грина-Шерка-Олива (GSO)!

Следовательно, проекционный оператор GSO не только устраняет состояния с неправильной статистикой или удаляет тахионы. Мы видим, что GSO-проекция делает однопетлевую амплитуду замкнутой струны модулярно инвариантной. Обобщение этого утверждения указывает на необходимость одновременного использования как сектора так и сектора R для получения модулярной инвариантности. Как только введены периодические и непериодические граничные условия, мы должны использовать все четыре варианта граничных условий для получения модулярной инвариантности, поскольку теория, содержащая только состояния не является, по-видимому, ни модулярно инвариантной, ни унитарной.

Обобщим теперь эти замечания на случай гетеротической струны. Мы хотим построить теорию, которая нарушает суперсимметрию, но оставляет нетронутой модулярную инвариантность [11,12]. Начнем с формулировки теории, имеющей фермионы как в пространственно-временном, так и в изотопическом секторах. Выберем правый сектор 10 гетеротической струны от теории GS, а 16-мерный изоспиновый сектор пусть будет представлен фермионными полями (более предпочтительными здесь, нежели бозоны). При этом изменением граничных условий можно более легко строить модулярно-инвариантные теории (вычисления с бозонными полями в изотопическом секторе являются более сложными, поскольку для бозонных полей мы не имеем такой красивой интерпретации модулярной инвариантности).

Введем элемент такой что который вместе с единицей образует дискретную группу По построению мы выбираем только те подпространства теории, на которых собственные значения оператора R равны 1. Это неизбежно нарушит группу Но использование различных граничных условий позволит нам сохранить модулярную инвариантность.

Выберем R в виде произведения двух операторов, первый из

которых - оператор поворота на угол в касательном пространстве, второй - оператор преобразования в изотопическом пространстве:

где

-генератор пространственно-временного поворота. Пусть лежат в картановской подалгебре калибровочной группы:

Отметим, что этот оператор просто генерирует смещение на вдоль координаты

Потребуем теперь, чтобы калибровочная группа коммутировала с элементом R группы Конечно, условие перестановочности с R нарушает исходную калибровочную группу, потому что R содержит элемент из этой группы. Действительно, подгруппой в ком мутирующей с R, является

Даже после выбора сектора теории с возможно использование различных комбинаций граничных условий, согласованных с модулярной инвариантностью. Однако многие из них включают тахионы, т.е. состояния с Только при выборе

получаем теорию, не содержащую тахионов. Такой выбор дает бестахионную теорию, поскольку в твистованном состоянии вакуум правого сектора не согласован с вакуумом левого сектора Таким образом, условие отбрасывает тахионное состояние.

Обозначим состояния так: (пространство-время; Поля фермионной струны преобразуются как

относительно группы

Построим теперь подпространство теории. Это означает, что все нетвистованные комбинации появляются с обычными множителями

Этот набор безусловно нарушает модулярную инвариантность. В общем случае мы должны иметь комбинаций. В твистованном секторе мы должны восстановить модулярную инвариантность

суммированием по остающемуся набору граничных условий. Выполним преобразование Возьмем следующие комбинации с противоположным набором состояний, сохраняющихся при проекции

функция распределения для этой модели может быть вычислена суммированием по нетвистованным состояниям с т. е. именно по тем состояниям которые сохраняются при факторизации по Потом, чтобы получить модулярную инвариантность, мы должны добавить твистованный сектор.

Спектр состояний с в этой теории может быть легко вычислен. Для безмассовых состояний мы находим, что нетвистованный сектор с периодическими правыми фермионами дает:

Отметим, что мы имеем только бозонную часть супергравитационного мультиплета, что указывает на отсутствие суперсимметрии в теории.

Для твистованного сектора с антипериодическими фермионами в правом секторе мы имеем только фермионов в представлении (16,16).

Когда мы проведем вычисления, подставляя эти проекции в функцию распределения, то получим

где тэта-функции возникают при вычислении следа Первый член возникает из нетвистованного сектора. Заметим, что он не является модулярно инвариантным. Последние два члена возникают из твистованного сектора. Подчеркнем, что только их комбинация является модулярно-инвариантной. Таким образом, суммируя по всем возможным комбинациям секторов, мы получаем модулярно-инвариантную теорию. Однако, как можно видеть из отсутствия безмассового гравитино, эта модель нарушает суперсимметрию. Это также означает, что в теории будут дилатонные головастики, которые теперь не сокращаются в силу суперсимметрии, поэтому следует ожидать проблем в инфракрасной области.

Тот факт, что эта модель свободна от аномалий, несколько неожидан и подчеркивает важную роль множителя в (9.6.36) при выборе

калибровочной группы. Однако имеет другой набор аномальных членов. Во-первых, число 496 в (9.6.36) появилось из-за при. сутствия гравитино, не дающего вклада в аномалию из-за массивности и не являющегося партнером гравитона. Во-вторых, вклад фермионов который обычно равен сейчас равен нулю. Это происходит из-за того, что безмассовые фермионы помещены в мультиплеты (16,16) с положительной киральностью в твистованном секторе и в мультиплеты (1,128), (128,1) в нетвистованном секторе. Таким образом, вклад в аномалию становится равным нулю:

(Хотя вклад в киральную аномалию обращается теперь в нуль, это не означает, что киральные члены сокращаются. Это связано с тем, что фермионы принадлежат различным представлениям калибровочной группы.) И наконец, поскольку рассматриваемая группа принадлежит к классу ортогональных групп нетрудно вычислить и повторить изложенные выше рассуждения.

Резюмируем свойства этой модели:

(1) Модулярная инвариантность (в силу того, что мы добавили в однопетлевую амплитуду все восемь возможных вкладов как из твистованного, так и из нетвистованного сектора).

(2) Отсутствие тахионов (так как для них не выполняется условие

(3) Отсутствие суперсимметрии (так как гравитино массивно).

(4) Отсутствие аномалий (поскольку вклады от фермионов спина 1/2 в сумме дают нуль, а гравитино вклада не дает).

(5) Отсутствие конечности (в силу того, что мы не можем использовать суперсимметрию для уничтожения инфракрасных расходимостей).