§ 10.10. РЕЗЮМЕ

Условие сокращения аномалий требует, чтобы мы брали либо группу либо Однако множители Чана-Патона несовместимы с исключительными группами. Поэтому нам не остается иного выбора, как только рассмотреть компактификацию, с помощью которой можно генерировать исключительные группы для суперструн.

В простейшем случае компактификации одного измерения необходимо сделать отождествление

Затем скалярная функция от х должна быть разложена в ряд по периодическим собственным функциям:

где

Видим, что выбор периодических граничных условий приводит к квантованию импульса.

В теории же гетеротических струн компактифицируют 16 измерений из 26 на 16-мерную решетку. В замкнутой струне правый и левый секторы независимы. Правый сектор десятимерен и содержит фермионную суперструну и бозонную струну. Левый сектор изначально был 26-мерным, но потом был компактифицирован к 10 измерениям, оставляя 16-мерную теорию, определенную на решетке, и 10-мерную бозонную струну (которая для получения замкнутой бозонной струны комбинируется с правым сектором бозонной струны). Окончательно действие в калибровке светового конуса имеет вид

где мы наложили следующие условия связи:

Действие (10.10.4) инвариантно относительно преобразования суперсимметрии:

При анализе спектра гетеротической струны мы должны принимать во внимание квантование импульса, а также возможность намотки струны вокруг компактифицированных измерений. Это приводит к следующим условиям на спектр:

Последнее условие на спектр возникает, когда мы налагаем требование инвариантности струны относительно сдвига вдоль координаты ст. Оператор, генерирующий такое вращение, имеет вид

Таким образом, мы требуем 1 16

Для гетеротической струны также можно построить вершинные функции. На самом деле они просто равны произведению обычных левых и правых вершин для суперструн, построенных ранее в гл. 3. Выберем следующий анзац для супергравитационного мультиплета:

где

Имея вершинные функции и обычный пропагатор (плюс условия связи), можно вычислить четырехточечную функцию для амплитуды рассеяния четырех безмассовых калибровочных бозонов:

здесь К- сложная функция от поляризаций, и определены формулами

Аналогично можно определить однопетлевую амплитуду, которая, что можно явно показать, является модулярно инвариантной. Это позволяет убрать сингулярность при что означает конечность теории в однопетлевом приближении.

Анализируя спектр теории, мы нашли, что описать спектр в терминах мультиплетов группы чрезвычайно трудно. Доказательство того, что спектр может быть представлен в терминах неприводимых представлений этой группы, много легче провести, используя алгебры Каца-Муди. Генераторы алгебр Каца-Муди имеют следующие коммутационные соотношения:

Заметим, что это обычная алгебра Ли с генераторами, зависящими от координаты на окружности. Можно также записать коммутаторы этой алгебры в терминах базиса Картана-Вейля, генераторы в котором имеют вид

и

Используя вертексные операторы, можно в явном виде построить представление алгебры Каца-Муди. Следовательно, поскольку вертексные операторы генерируют спектр теории, сам спектр должен быть инвариантным относительно преобразований алгебры Каца-Муди. Поэтому несмотря на то, что спектр не является явно инвариантным относительно действия группы мы установили, что он обладает симметрией относительно действия этой группы.

Отметим, что можно построить модулярно инвариантные струны без требования суперсимметрии. Если взять, например, гетеротическую струну, то можно построить оператор

образующий вместе с единичным оператором дискретную группу Этот оператор является произведением пространственно-временного вращения и вращения в изотопическом пространстве. Возьмем в качестве элемент картановской подалгебры, генерирующий сдвиг вдоль на Если 52 равно единице, то теория имеет тахионы. Но если 52 равняется двум, то возможна теория, свободная от тахионов. Калибровочная группа при этом должна быть меньше, чем или так как мы проектируем на подпространство с В результате калибровочная группа редуцируется к Такая теория может быть сделана модулярно инвариантной, если мы аккуратно выберем граничные условия как для от, та и для для замкнутой струны. Модулярные преобразования будут изменять эти два граничных условия, поэтому мы должны просуммировать по всем четырем возможным граничным условиям NS и R.

Можно показать, что окончательная модель будет модулярно инвариантной, свободной от тахионов и аномалий. Однако она нарушает суперсимметрию и не является конечной.

Новые схемы компактификации, более общие, чем рассмотренная, возможны, если мы будем использовать различные схемы компактификации к пространственно-временным измерениям. Непосредственно компактифицируя левый сектор от 26 до пространственно-временных измерений и компактифицируя правый сектор от 10 до измерении» можно обойти промежуточный этап гетеротической струны с группой Новой чертой такой схемы компактификации является то, что модулярная инвариантность ограничивает нас на лоренцевы решетки, т.е. решетки, на которых метрика имеет чередующиеся знаки. Можно показать, что такая лоренцева решетка хорошо определена. Это дает нам совершенно новый класс струн типа гетеротических с большими

калибровочными группами, например Несмотря на то что такие модели выглядят сильно отличающимися от стандартной гетеротической струны, можно показать, что такие новые классы моделей можно построить при отличии от нуля постоянных фоновых полей

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)