§ 7.7. ЗАМКНУТЫЕ СТРУНЫ И СУПЕРСТРУНЫ

К сожалению, теория замкнутых струн и суперструн менее развита, чем теория открытых бозонных струн. Например, формализм BRST испытывает серьезное замешательство по поводу того, как правильно Построить теорию. Для замкнутых струн и суперструн весь «счет духов» становится неверным. Фактически наивное действие BRST тождественно вращается в нуль, поскольку имеет неправильное духовое число, неизбежно влекущее за собой «последовательное транкирование» либо 6» либо гильбертова пространства «духовых мод». Как мы увидим, при Переходе к более сложным моделям ситуация быстро ухудшается и усложняется, пока, наконец, формализм BRST не терпит полный крах Для фермионной полевой теории замкнутых струн. В некотором смысле факт, что открытую струну оказалось столь легко выразить на языке был счастливой случайностью. Горькая реальность состоит в том, что формализм BRST упускает нечто важное.

Для замкнутых струн [11, 39, 40] мы имеем две копии генераторов В формализме BRST духовое число вакуума Ивается по сравнению с предыдущим, потому что —

При этом духовое число остается равным 1. Это означает, что наивное действие на самом деле должно обращаться в нуль,

так как результат подсчета духового числа выходит неверным, а именно — Такая ситуация явно нежелательна. Были предложены различные пути решения этой проблемы вычисления правильного духового числа, но ни один из них не является полностью удовлетвори, тельным. Например, мы можем искусственно обрезать в нулевые моды, сохраняя его нильпотентность, т. е. произвольно отбросить нулевые моды

вводя вместо них меньший набор

такой что новый оператор теперь разлагается в виде

Здесь были выброшены старые нулевые моды и подставлен меньший набор (который походит на набор, использованный для открытой струны).

Чтобы иметь теорию, не зависящую от начала координаты а, наложим на замкнутую струну связь:

В силу того что мы имеем дело с меньшим числом нулевых мод, можно использовать вакуумы, найденные выше для случая открытой струны,

Отметим, что обрезание было выбрано сохраняющим тождество

Действие имеет вид

Хотя BRST-теория открытых струн проста, мы начинаем видеть слабости подхода BRST в случае замкнутых струн:

(а) связь должна быть наложена извне, без какого-либо фундаментального обоснования. Связи обычно появляются к результат симметрии действия; здесь мы просто налагаем их, зная, откуда они берутся;

(б) произвольное обрезание духовых состояний, сохраняющее нильпотентность кажется слишком надуманным;

(в) это обрезание, вероятно, не выживает в теории взаимодейств Опускание нулевых мод означает потерю струнной интерпретации

и Полностью теряется локальность по от, которая была абсолютно необходима для построения вершинной функции. Таким образом, отказ от локальности по от, по-видимому, разрушает любую возможность теории взаимодействий.

Обратимся теперь к суперсимметричному случаю, где ситуация Ирного хуже. Для бозонов Невё-Шварца мы на самом деле не сталкивались с трудностями при учете нулевых мод духов, так как коммутирующие духи у и Р имеют полуцелые моды и, следовательно, не изменяют природу вакуума. Вакуум BRST по-прежнему имеет духовое число — 7г» и поэтому действие, как и прежде, имеет вид

Однако для фермионов Рамона [11, 41-53] возникают трудные проблемы, связанные с целочисленными компонентами коммутирующих духов Фаддеева-Попова. Пусть будет нулевой модой духового фермионного осциллятора. Тогда существует бесконечное число всевозможных вакуумов, поскольку этот дух является по своей природе не фермионным, а бозонным. Каждый из этого бесконечного набора вакуумов метится выражением

Это приводит к тому, что полевой функционал должен быть разложен в ряд по бесконечному набору вакуумов:

Какой вакуум мы используем? Такой подход является чрезвычайно неудобным, что показывает ограниченность формализма BRST. (Подобная ситуация имеет место в конформной полевой теории с оператором смены картины. Однако конформная полевая теория является формализмом на массовой поверхности, так что все картины эквивалентны одной. Здесь полевая теория струн - это по определению теория вне массовой поверхности, и поэтому в нее должны входить все такие вакуумы.)

Для транкирования теории в подходе BRST имеется несколько предложений. Мы можем либо транкировать оставляя его ниль-ЙОтентным, либо транкировать поле так, чтобы отпала необходимость в суммировании по бесконечному числу духовых вакуумов. Начнем обсуждение с введения единых обозначений, с помощью которых мы сможем описывать духовые поля для моделей Невё-Щварца и Рамона одновременно. Определим следующие объекты [11]:

обозначает как обычную бозонную струну, так и антикоммутирующее поле точка напоминает, что поля могут иметь и полуцелые моды, и представляют духовые поля теории.

В частности, духовые поля, соответствующие бозонной струне обозначают духи для фермионного поля, где точка опять обозначает возможность разложения либо по целым, либо по полу целым модам.

Коммутационные соотношения принимают вид

где равно — 1, если М и N-фермионы, и в противном случае. Если то оператор BRST в этих обозначениях принимает вид

где суть обычные операторы Вирасоро.

В частности, для струны Рамона этот оператор есть

где

где равно 2, если М - бозонный индекс, и если М - фермионный индекс, черта меняет местами бозонные и фермионные моды, принимают те же значения, что и в случае Вирасоро.

F - обычный оператор Рамона, который удовлетворяет следующим коммутационным соотношениям, определяющим алгебру

Отметим, что алгебра которая обычно записывает через физические поля, с таким же успехом может быть реализо через духовые поля и

Операторы F, К и так далее удовлетворяют, в свою очер

следующим коммутационным соотношениям:

Этих же коммутационных соотношений достаточно, чтобы показать нильпотентность BRST-оператора

Как упоминалось выше, проблема с сектором Рамона заключается в том, что духовая мода разлагается по целым модам и удовлетворяет коммутационным, а не антикоммутационным соотношениям, так что имеется бесконечное число духовых вакуумов, описываемых для каждого Одно из решений этой проблемы состоит в произвольном транкировании нулевых мод оператора при сохранении его нильпотентности.

Мы подходим к решающему моменту: как и в случае бозонной замкнутой струны, устраним произвольным образом бозонные духовые моды и введем фермионные такие что

Определим модифицированный оператор изгоняющий из теории нулевые моды. Пусть

где подсчитывает полное число фермионных операторов рождения в данном состоянии. При этом руководящим принципом в построении модифицированного оператора было тождество

Для выделения состояний сектора Рамона определим оператор GSO, который в таком представлении есть

где относится только к ненулевым модам, а обозначает 10-мерную киральную матрицу Дирака. В этом представлении GSO-проекция просто уничтожает состояния с неправильной спиновой статистикой.

Произвольное рамоновское суперполе в этом транкированном фоковском пространстве может быть разложено как

где - 0-форма киральности есть -форма и

Транкированное действие теперь есть

где Такое действие инвариантно относительно преобразования

Подстановка указанного выше разложения в (7.7.24) дает

Такое действие было также получено другими способами, такими как искусный выбор при транкировании сохраняющий первоначальный вид оператора

Однако ситуация становится намного хуже, когда мы переходим к обсуждению фермионных замкнутых струн. В этом случае связь превращается в

т. е. становится динамической связью. Следовательно, налагать ее на состояния мы не можем. К несчастью, теория BRST для фермионных замкнутых струн терпит крах, что демонстрирует незавершенность известного ныне формализма BRST. Фермионная теория замкнутых струн подводит формализм BRST к пределу его возможностей, где он больше не дает приемлемых результатов.

Мы видели, что подход BRST становится все более громоздким при переходе к суперструнам и замкнутым струнам. К сожалению, было предложено много способов транкирования, отчасти взаимоисключающих. «Транкирование», однако, нечто большее, чем дело вкуса, это потенциально опасная операция, поскольку она, вероятно, не обобщается на взаимодействующие струны. Транкирование, по-видимому, нарушает локальность по от, столь существенную для построения вершин. Поэтому предложенные до сих пор способы транкирования могут на самом деле оказаться несостоятельными на уровне взаимодействия.

Все же представим еще одну операцию транкирования [17], которая обещает быть локальной по , стало быть, допускающей обобщение на взаимодействующие струны. Напомним первоначальный способ подсчета духов, которое мы выполнили при конструировании операции и Духовые числа выбирались так, чтобы удовлетворить аксиомам когомологии (7.5.8)-(7.5.12) и обеспечить замкнутость калибровочной группы:

Дегко показать, что такой выбор духовых чисел удовлетворяет переделенным выше аксиомам когомологии.

Обобщим эти правила на случай открытых суперструн. Мы хотим сохранить аксиомы когомологии и в дополнение потребовать, чтобы два калибровочных преобразования производили третье калибровочное преобразование с тем же самым духовым числом.

Выдвинув эти условия, сразу находим, что определенные нами операции и имеют неправильные духовые числа. Как было найдено выше, действие тождественно равняется нулю. На этот раз, чтобы восполнить утерянные духовые числа, вместо транкирования нулевых мод мы прибегнем к конформной полевой теории. Вставки от духовых полей BRST будут присутствовать только в средней параметризационной точке, поэтому мы не потеряем локальность по ст. Таким образом, это транкирование, которое транкирует только духовые числа полей, лучше, чем предыдущая операция транкирования нулевых мод.

Чтобы заставить этот механизм заработать, нужно добавить несколько новых особенностей.

(1) Суперполе представляется теперь суммой NS-поля -поля у:

(2) Аналогично, калибровочный параметр А также состоит из двух частей:

(3) Духовое число операции равно теперь (поскольку, как и выше в (7.4.16), вклад конформных духов равен 3/2, но суперконформные духи дают вклад — Следовательно, мы должны изобрести новое правило умножения для суперструн, которое будет иметь духовое число 3/2 (назовем его

(4) Интеграл имеет теперь духовое число — из-за вклада суперконформных духов. Необходимо предположить существование нового интегрирования §, имеющего духовое число — 3/2.

Теперь методом проб и ошибок мы можем приписать всем нашим полям и операторам духовые числа, обеспечивающие замкнутость калибровочных преобразований и выполнение приведенных выше аксиом [17]:

Здесь X и еще неизвестны, но имеют духовые числа, восполняюцщ недостающие значения.

Выдвинув догадку, которая успешно удовлетворила нашим первоначальным предположениям, мы теперь сталкиваемся с задачей действий тельного вычисления вида этих полей и операторов § и

Для начала, построить BRST-поля с такими духовыми числами нетрудно. Мы просто выбираем правильный вакуум (из их бесконечного количества), такой что он имеет нужное духовое число. Затем всегда можно применить к каждому состоянию проекционный оператор духового числа и получить обобщенное BRST-поле с правильным духовым числом.

Намного сложнее, конечно, определение операторов

Так как имеет только духовое число , нам нужен новый конформный оператор с духовым числом 1 и конформным весом 0. К счастью, конформная полевая теория дает такой оператор:

Тогда правило умножения для калибровочных параметров должно подчиняться условию

Этому правилу умножения можно удовлетворить с помощью нового оператора X:

Взглянув на духовые числа всех полей и операторов, мы убеждаемся в их правильности. В самом деле, запишем наше правило умножения символически через духовые числа. Мы хотим перемножить два мультиплета с духовыми числами так, чтобы при этом снова получить мультиплет . Аккуратно выписывая все различные духовые числа в этом правиле умножения, находим

т. е. получаем замкнутость.

Далее, покажем, что выражение , которое присутствует вариации поля А, также имеет правильное духовое число поля А. этого нужно вычислить духовые числа следующей операции:

тщательно подсчитывая духовые числа всех членов, находим

т.е. снова замкнутость налицо.

Наконец, необходимо построить новый оператор с духовым числом Поскольку наивный интегральный оператор имеет духовое число, равное всего лишь — 1/2, требуется новый оператор с духовым числом Еще раз конформная полевая теория дает нам такой оператор:

Этот оператор называется «обратным оператором смены картины» и в некотором смысле является обратным к оператору X. Можно показать, что

т. е. операторы X и взаимно обратны. С помощью этого оператора новый оператор интегрирования определяется формулой

т.е. правило интегрирования то же самое, что и выше, за исключением фактора который мы подставляем в средней точке. Этот оператор определяется только в средней точке струны, так что локальность теории по а сохраняется.

Используя новые операторы подсчета духов, можно показать инвариантность действия

относительно преобразования

Преимущество этого формализма заключается в том, что он обобщается на случай взаимодействий. Все операторы локальны по от, Поэтому проблема наложения условия непрерывности на взаимо-Иствующие струны отсутствует.

Однако проблема с этим подходом состоит в невозможности его обобщения на замкнутые струны. В моделях такого типа явно нарушается модулярная инвариантность. К тому же построение модели зависело скорее от удачного угадывания подходящих духовых чисел, чем от какого-либо нового понимания сути полевой теории. Нет никакой мотивировки, лежащей в основе всего этого.

Подытожим различные трудности формализма BRST, обусловленные тем фактом, что это фактически формализм с фиксированной калибровкой.

(1) Загадочна необходимость существования двух формализмов BRST эквивалентных на массовой поверхности, - одного, основанного на определенной ковариантным образом вершине конусного форщ. лизма, а другого - на симметричной вершине.

(2) Смысл духового поля Фаддеева-Попова, являющегося напоминанием о фиксации конформной калибровки, неясен. Почему объект фиксирующий калибровку, должен играть в формализме BRST такую важную роль?

(3) Правило умножения и правило интегрирования для струн просто постулируются без объяснения их происхождения.

(4) Непонятен смысл уравнения

(5) Формализм BRST не может перейти в калибровку светового конуса вне массовой поверхности. Как мы видели, чтобы получить действие в калибровке светового конуса, для уничтожения лишних мод пришлось использовать уравнения движения.

(6) Предлагается много способов транкирования для теории BRST, не все из них согласуются друг с другом. Какой же способ является правильным? Присутствие связей в фермионном секторе не только неприятно, оно обрекает эту теорию на неудачу. Уравнения связей не могут быть разрешены при сохранении уравнения движения. Таким образом, для сектора замкнутых фермионных струн теория терпит полный крах.

(7) Почему такую важную роль в теории должна играть средняя параметризационная точка? Математически середина струны не является такой уж особенной точкой.

(8) Что важнее всего, формализм BRST невозможно вывести из фундаментальных принципов физики. Он не является физическим принципом. Метод BRST - это формализм для квантования в калибровке. Он лишен физического содержания.

Перед тем как завершить эту главу о струнной полевой теории BRST, скажем несколько слов о многообещающей формулировке полевой теории струн, называемой «предгеометрическим» подходом [54-56]. Эта формулировка не ссылается на фоновую метрику и может дать ключи к пониманию происхождения самой геометрии.

Рассмотрим действие

На первый взгляд такое действие не имеет смысла. Оно никак ссылается на то, какая фоновая метрика лежит в его основе, - что само по себе хорошо, но два обстоятельства кажутся создающими непреодолимые трудности трудности: действие не имеет кинетического члена и его уравнения

движения представляются тривиальными. Для того чтобы изучить это странное действие, выпишем соответствующее ему уравнение движения:

Обычно оно имеет решение так что в случае точечной частицы теория оказывается бессодержательной. Однако данное уравнение на одоом деле представляет собой краткую запись для бесконечной совокупности связанных уравнений, соответствующих бесконечно-юмпонентной полевой теории, поэтому для струнной теории оно уже не является тривиальным. Предположим на минуту, что для этого уравнения движения существует ненулевое классическое решение т.е.

Разложим поле вблизи этого классического решения.

Подставим полученное разложение обратно в лагранжиан. Так как удовлетворяет классическим уравнениям движения, мы имеем новый лагранжиан, основанный на новом классическом решении:

Пока что ничего нового в этом не видно. Мы все еще не вошли в соприкосновение с физической теорией. Сделаем теперь важнейшее предположение, лежащее в основе этого подхода. Допустим, что существует оператор который удовлетворяет уравнению

Если такой оператор действительно существует, то тогда можно Доказать, что он нильпотентен. Подставляя выражение (7.7.49) в лагранжиан, получаем

Если бы мы могли отождествить оператор с обычным оператором и подхода BRST, то тогда можно было бы показать, что это действие в точности BRST-действие с кинетическим членом! Итак, обычное BRST-действие могло бы появиться при разложении поля вблизи нового классического решения нашей теории.

Новой особенностью этого подхода является отсутствие какого-либо упоминания пространственно-временной фоновой метрики. Фон присутствует только в кинетическом члене, но не в члене взаимодействия. Действительно, выбор фоновой метрики осуществляется при разложении поля вблизи классического решения уравнений движения. Это объясняет, почему такой подход называется «предгеометрической» теорией. В принципе геометрия пространства-времени должна возникать в результате выбора одного из многих возможных вакуумов.

На практике, однако, следует тщательно проверить согласованность нашего подхода. Ключевым уравнением было (7.7.49). При определенных предположениях представляется возможным найти решения этого уравнения, где D удовлетворяет аксиомам струнной полевой теории BRST. Если это так, то обычное плоское пространство струнной полевой теории BRST есть не что иное, как одно из решений уравнения движения для действия Другие решения предположительно дадут BRST-теории с другими классическими метриками.

Например, выберем

где - оператор, определенный только слева от средней точки (для открытия струны), а -тождественный оператор (который равен 1 если левая и правая сторона струны совпадают, и нулю в противном случае). Первоначальный оператор подхода BRST равен Подстановка выражения

в исходное действие восстанавливает действие BRST (7.5.7). (Правая часть оператора появляется в вычислениях, поскольку .)

Как ни странно, можно показать, что эти определения согласуются с исходными пятью аксиомами разд. 7.5, так что обычное струнное действие BRST, по-видимому, есть одно из многих возможных решений уравнения (7.7.45).

Итак, плоское пространство является корректным решением уравнения (7.7.45). Однако нужно еще найти, какие другие виды фоновых метрик могут быть получены как решения уравнений движения.