§ 10.3. СПЕКТР СОСТОЯНИЙ

Изучим теперь спектр состояний теории. Прежде всего заметим, что правый сектор теории обладает явной пространственно-временной суперсимметрией. Варьируя по полям, нетрудно получить генераторы пространственно-временной суперсимметрии, что позволит нам, как мы видели в предыдущих главах, построить ток, соответствующий данной симметрии. Ранее в (3.8.22) мы нашли, что операторы суперсимметрии действующие в правом секторе, в калибровке светового конуса могут быть записаны в виде

Используя канонические коммутационные соотношения, находим

Анализируя левый сектор, отметим, что изоспин вводится совершенно иным образом, нежели множители Чана-Патона. В отличие от обычного подхода Чана-Патона, где амплитуды просто умножаются на след от произведения генераторов, изоспиновые множители, возникающие в процессе компактификации, увеличивают число изотопически допустимых состояний до астрономических размеров. Заметим, что изотопический индекс является индексом мод что сильно увеличивает число допустимых состояний фоковского пространства.

Вообще говоря, поскольку левый и правый секторы фактически не связаны друг с другом, векторы состояний фоковского пространства гетеротической струны будут тензорным произведением векторов состояний из левого и правого секторов:

При рассмотрении низшего уровня изучим сначала правый сектор. Как и ранее в (3.8.13) и (3.8.14), восемь фермионных и восемь бозонных состояний в основном состоянии суперструны могут быть выражены друг через друга:

Таким образом, мы имеем состояний в правом секторе безмассовых мод.

Изучим теперь левый сектор. Имеем

(Важно понимать, что такая запись спектра состояний нарушает явную симметрию Чтобы увидеть это, заметим, что 16 операторов число которых соответствует размерности корневой рещетки группы не образуют представления этой группы. Аналогично, векторы соответствуют 480 корням группы длины два. Однако они также не образуют представления этой группы. Только когда мы сложим 16 и 480 и образуем 496 состояний, мы в конечном счете получим присоединенное представление группы На безмассовом уровне возможно объединение состояний в мультиплеты группы но это становится все более затруднительным для уровней с возрастающей массой. Позже мы приведем доводы, основанные на алгебрах Каца-Муди, используя которые можно показать, что весь спектр состояний является в действительности симметричным относительно группы

На безмассовом уровне мы получаем спектр состояний перемножением правых и левых мод. Полное число состояний на низшем уровне гетеротической струны равняется, следовательно, произведению числа состояний в левом и правом секторах: Разложение этих состояний на мультиплеты таково. Среди 8064 состояний 128 принадлежат мультиплету -супергравитации (в калибровке светового конуса):

Если разложить этот мультиплет на различные состояния, то найдем

Другие состояния принадлежат теории супер-Янга-Миллса с группой Например, мультиплет теории супер-Янга-Миллса находится в присоединенном представлении группы имеющем 496 состояний. Эти 496 изотопических состояний образованы состояниями, содержащимися в левом секторе:

Таким образом, мультиплет супер-Янга-Миллса может быть представлен как состояний:

Короче говоря, мы имеем в точности безмассовые поля 10-мерных теорий супергравитации и супер-Янга-Миллса.

Напомним, что мы должны были взять для того, чтобы получить неприводимое представление группы Это означает, вообще говоря, что фоковское пространство гетеротической струны не расщепляется явным образом на мультиплеты группы На

следующем уровне, например, состояния группируются в неприводимые представления алгебры этой группы только на последнем шаге вычислений.

На следующем уровне, где мы имеем в правом секторе

Отметим, что в (10.3.10) мы образовали бозоны с помощью тензорного произведения двух фермионов.

Левый сектор, содержащий 73 764 состояния, значительно более сложен. Всего мы имеем, следовательно, состояния. Среди них скалярными являются

что в сумме дает 69 752 скалярных состояния. (Для подсчета числа состояний использован тот факт, что на решетке число векторов с квадратом длины, равным для целого равно произведению 480 на сумму седьмых степеней делителей т. При этом получаем таких состояний

На первый взгляд совсем не очевидно, что эти 69 752 скалярных состояния могут быть сгруппированы в мультиплеты группы Однако тщательный анализ показывает, что они могут быть сгруппированы в мультиплеты этой группы следующим образом:

3976 векторов левого сектора разбиты на группы следующим образом:

Имеем также тензорные состояния:

Таким образом, полное число состояний левого сектора равно 73 764.

На более высоких уровнях степень вырождения растет экспоненциально:

Не было очевидно, что эти состояния могут быть сгруппированы в мультиплеты группы На более высоких уровнях кажется невозможным сгруппировать все состояния с более высокими массами неприводимые представления этой группы. Нам необходима, конечно, более высокая симметрия для доказательства этого во всех порядках. Возможность такой группировки мы докажем с помощью алгебр Каца-Муди в § 10.7.