§ 11.7. ВИЛЬСОНОВСКИЕ ЛИНИИ

В нашем предыдущем обсуждении погружения спиновой связности в калибровочную связность (11.5.3) группа нарушалась до которая имеет очень хорошую феноменологию из-за того, что фермионы находятся в представлении 27 группы Далее следует нарушить группу до минимальной группы

Сложность заключается в том, что наиболее простые методы нарушения группы неизбежно нарушают и -суперсимметрию. Однако существует один трюк, который можно использовать на неодносвязных многообразиях.

Вообще говоря, мы знаем, что упорядоченное вдоль петли произведение элементов калибровочной группы является калибровочным инвариантом. Мы можем записать его как вильсоновскую петлю

где через Р обозначен оператор упорядочивания каждого члена по отношению к замкнутому пути С. Для малых путей мы находим, что пропорциональна экспоненте от кривизны два-формы.

Обычно, когда кривизна обращается в нуль, естественно ожидать, что вильсоновская петля становится единицей. Это связано с тем, что мы всегда можем стянуть замкнутый путь С в точку. Если тензор площади маленькой петли обозначить через то вильсоновская петля переходит в

Однако если путь не является односвязным, это не так. Поэтому мы можем иметь нулевой тензор кривизны, однако вильсоновская петля не обязательно будет равна единице [1, 7].

Это именно то, что нам нужно, поскольку сейчас мы рассматриваем неодносвязные многообразия. Если не равна единице, то группа нарушается до подгруппы, коммутирующей с

Заметим, что содержит максимальную подгруппу

где С - цветной индекс группы сильных взаимодействий, а индексы помечают левую и правую группу слабых взаимодействий.

Это нарушение может быть выполнено выбором одного элемента группы удовлетворяющего

Этот элемент порождает группу перестановок Мы хотим теперь найти подгруппу в коммутирующую с Вообще говоря, это будет

группа ранга шесть. Можно, например, выбрать элемент группы вида

где матрицы представляют элементы трех подгрупп в являются корнями степени из единицы. При этом в зависимости от выбора мы имеем следующее нарушение группы

Выбирая различные элементы группы можно получить различные подгруппы в коммутирующие с Например:

В этом случае имеет вид

В качестве дискретной группы можно также выбрать группу тогда

Вообще говоря, полученные модели кроме взаимодействий минимальной модели содержат также другие калибровочные взаимодействия. Действительно, группа имеет 27 подгрупп, приводящих по крайней мере к минимальной модели, но они все содержат нежелательные калибровочные группы выживающие при нарушении симметрии. Конечно, они в дальнейшем должны быть устранены, возможно с помощью другого механизма, такого, например, как использование «плоских» направлений в суперпотенциале.