ПРИЛОЖЕНИЕ

Поскольку математический аппарат теории суперструн достиг головокружительных высот, используя понятия из наиболее абстрактных разделов современной математики, мы включили это краткое приложение, чтобы помочь читателю понять математическую природу некоторых концепций, введенных в этой книге. Мы просим читателя извинить нас за то, что мы вынуждены были в некоторой степени пожертвовать математической строгостью, чтобы охватить в кратком очерке широкий круг вопросов. Однако заинтересованный читатель может найти опущенные подробности в некоторых перечисленных в конце настоящего приложения источниках.

§ П.1. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ГРУПП

Группой называется совокупность элементов со следующими свойствами:

(1) Существует тождественный (единичный) элемент

(2) Эта совокупность замкнута относительно умножения:

(3) Для каждого элемента существует обратный ему элемент:

(4) Умножение ассоциативно:

Существует много разновидностей групп. В частности, имеются дискретные группы, содержащие конечное число элементов, и непрерывные группы, например группы Ли, содержащие бесконечное число элементов. Примерами дискретных групп служат:

(1) Знакопеременные группы основанные на множестве перестановок объектов.

(2) 26 спорадических групп, среди которых не наблюдается какой-либо регулярности. Самая большая и наиболее интересная из спорадических групп - это группа которую обычно называют «Монстр»» она содержит

элементов.

В настоящей книге, однако, мы в основном имеем дело с непрерывными группами, содержащими бесконечно много элементов. Среди непрерывных групп наиболее важны группы Ли, которые представлены следующими четырьмя бесконечными сериями А, В, С, D, если ограничиться компактным вещественным случаем групп Ли:

а также исключительными группами

из которых с точки зрения феноменологии струн наиболее важны группы

Приведем конкретные примеры некоторых из этих групп, рассмотрев множество всех вещественных или комплексных матриц размера Ясно, что множество произвольных обратимых -матриц удовлетворяет определению группы, и соответственно оно обозначается или . Это обозначение расшифровывается как общая линейная (general linear) группа -матриц с вещественными или комплексными элементами. Если взять подмножество группы или с единичным детерминантом, мы получим или , группу специальных линейных матриц с вещественными или комплексными элементами.

О (n)

Возьмем теперь некую подгруппу а именно ортогональную группу состоящую из всех возможных обратимых вещественных -матриц, являющихся ортогональными:

Эта совокупность действительно удовлетворяет всем четырем аксиомам группы. Любая ортогональная матрица может быть записана как экспонента от некой антисимметричной матрицы:

Легко видеть, что

В общем случае ортогональная матрица содержит

независимых элементов. Поэтому мы всегда можем выбрать множество линейно независимых матриц, называемых образующими (или генераторами), таких, что любой элемент группы может быть записан в виде

Вещественные числа называются параметрами группы, так что группа имеет (1/2) и параметров. Число параметров группы Ли называется ее размерностью. Коммутатор любых двух образующих дает другую образующую:

Коэффициенты называются структурными константами соответствующей алгебры. Заметим, что структурные константы полностью определяют эту алгебру.

Заметим, что если взять циклическую комбинацию трех коммутаторов, мы получим тождество:

Раскрывая коммутаторы, убеждаемся, что все члены сокращаются, давая тождественный нуль. Это тождество называется тождеством Якоби, и оно должно выполняться, чтобы группа была замкнутой. Раскрывая тождество Якоби, получаем ограничение на структурные константы; если оно не соблюдается, группа не будет замкнутой:

Разумеется, множество ортогональных матриц замкнуто относительно умножения. Труднее доказать, что данная частная параметризация ортогональной группы с образующими и параметрами замкнута относительно умножения. Запишем

К счастью, теорема Бейкера-Хаусдорфа показывает, что С равно А плюс В плюс все возможные кратные коммутаторы А и В. Но поскольку А и В удовлетворяют тождествам Якоби, то множество всех кратных коммутаторов А и В порождает только линейные комбинаций образующих. Тем самым группа замыкается относительно умножения.

Заметим, что структурные константы алгебры образуют некое представление, называемое сопряженным представлением, если записать структурные константы в виде матрицы:

Таким образом, структурные константы сами по себе дают некое представление указанной алгебры.

Для антисимметричной матрицы мы всегда можем выбрать

коммутационные соотношения в виде

Одно из удобных представлений нашей алгебры дается теперь формулой

которая, как можно показать, удовлетворяет коммутационным соотношениям исходной группы.

Определим теперь набор из элементов преобразующийся под действием группы как вектор:

В общем случае мы можем также определить тензор

ранга Р, преобразующийся аналогичным образом как произведение Р обычных векторов

Кроме векторного и тензорного представлений группы имеется также спинорное представление этой группы. Определим алгебру Клиффорда

Теперь определим представление образующих через эти числа Клиффорда:

Числа Клиффорда преобразуются как векторы:

В общем случае эти числа Клиффорда могут быть представлены матрицами размера

Для группы Поэтому спинор преобразующийся под действием группы имеет компонент и преобразуется как

где матрицы М записаны через элементы алгебры Клиффорда, а переменные являются параметрами.

Для группы нам нужен еще один элемент. Этот недостающий элемент есть

Легко проверить, что этот новый элемент позволяет построить все матрицы М для группы

Теперь попробуем построить объекты, инвариантные относительно действия этой группы. Ортогональные преобразования сохраняют скалярное произведение

Если

Этот инвариант может быть записан в виде

где метрический тензор есть В принципе, можно было бы также взять метрический тензор с чередующимися знаками вдоль диагонали, что породило бы некомпактное пространство параметров. Если содержит положительных и М отрицательных элементов, то множество матриц, сохраняющих эту форму, называется О

Если все элементы положительны, то получаем группу О Если знаки чередуются, то полученная группа некомпактна. Частные случаи включают:

Например, группу де Ситтера можно построить, взяв образующие группы и затем записав пятый компонент в виде

Таким образом, эта алгебра принимает вид

Заметим, что полученная алгебра почти совпадает с алгеброй группы Пуанкаре. Действительно, если сделать подстановку

то изменится только коммутатор

Параметр называется радиусом де Ситтера. Отсюда следует, что, обойдя окружность в пространстве де Ситтера и вернувшись в исходную точку, мы обнаружим поворот посредством преобразования Лоренца относительно исходной ориентации. Заметим, что если уходит на бесконечность, то получается группа Пуанкаре. Таким образом, соответствует радиусу пятимерной вселенной, которая становится неотличимой от плоского четырехмерного пространства Пуанкаре при Этот предельный переход называется сжатием Вигнера- Инону, и он будет широко использоваться в теориях супергравитации. После этого сжатия группа де Ситтера становится группой Пуанкаре.

SU(n)

Группа состоит из всех возможных комплексных -матриц, имеющих единичный детерминант и являющихся унитарными:

Обозначение этой группы расшифровывается как «специальные унитарные матрицы с комплексными коэффициентами». Всякая унитарная матрица может быть записана как экспонента от эрмитовой матрицы

Можно показать, что

Пусть элементов комплексного вектора линейно преобразуются под действием группы

Совокупность комплексных векторов образует фундаментальное представление этой группы. Тогда можно построить следующий инвариант:

Если легко проверить, что

Метрическим тензором для скалярного произведения снова будет Если заменить на противоположные некоторые из знаков этой диагональной матрицы, то группы, сохраняющие такой метрический тензор, обозначаются ). Примером служит конформная группа

Всякая комплексная бесследовая эрмитова матрица размера имеет независимых элементов и поэтому может быть записана через линейно независимых матриц Итак, любой элемент группы может быть записан в виде

Тогда теорема Бейкера-Хаусдорфа гарантирует, что эта группа замкнута относительно указанной параметризации и что алгебру группы можно записать в виде

Как и прежде, знание структурных констант определяет эту алгебру полностью.

Можно также построить представление группы из спиноров. Для группы группа является подгруппой. Если построить элементы

где суть грассмановы переменные, то образующие группы могут быть записаны как

Итак, мы получили явное представление включения

Sp(2n)

Симплектические группы определяются как множество вещественных матриц размера сохраняющих антисимметрическую метрику :

где