Глава 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ СТРУН

§ 8.1. ЗАЧЕМ НУЖНА ГЕОМЕТРИЯ?

Как мы видели, развитие теории струн в течение последних 20 лет происходило в направлении, прямо противоположном направлению развития общей теории относительности. Во многом это объясняет почему мы до настоящего времени заняты поисками фундаментальной геометрической формулировки теории струн.

Общая теория относительности была открыта Эйнштейном, который сначала попытался объяснить важнейший физический принцип - принцип эквивалентности, а затем постулировал геометрическую формулировку, объясняющую общую ковариантность. Следующий шаг состоял в построении единственного действия, удовлетворяющего этим принципам. Дальнейшие этапы в развитии общей теории относительности были связаны с созданием классической теории римановых многообразий. И наконец, были предприняты попытки проквантовать эту теорию. Таким образом, историческая схема развития общей теории относительности выглядит так:

В сравнении с этой схемой теория струн развивалась в обратном направлении. Ее развитие начинается со случайного открытия члена Венециано-Борна, построения квантовых петель, приводящих к классической струне Намбу-Гото, затем к действию в калибровке светового конуса и, наконец, к попыткам геометрического вывода действия:

Только недавно, с возрождением интереса к струнной теории, были предприняты попытки совместными усилиями завершить ее развитие. Как мы подчеркивали, это не только академический вопрос. В конечном счете успех или неудача теории струн определится на основании того, сможет ли она выбрать подходящий квантовый вакуум среди десятков тысяч возможностей. Таким образом, только в рамках настоящей теории поля можно будет разрешить насущную проблему теории струн» а именно непертурбативное нарушение симметрии, сводящее 10-мерный вакуум к четырехмерному.

В сущности, имеются только два различных способа, которыми можно было бы вывести полевую теорию струн.

(а) Во-первых, можно попытаться получить действие полевой теорий» отталкиваясь от первично квантованного действия Намбу, таким образом, каким Фейнман вывел уравнение Шредингера из классй ческой теории нерелятивистских частиц. Такая стратегия «снизу

вверх» включает в себя выдвижение разумных допущений на оснований особенностей первично квантованной теории. Недостаток этого подхода кроется в том, что он обязательно нарушает калибровочную инвариантность теории (т. е. мы должны выбрать калибровку светового конуса или конформную калибровку BRST). Это значит, что необходимо произвольно предположить существование определенных полей (например, «духовых полей Фаддеева-Попова»). Эти поля присутствуют в первично квантованном подходе с фиксированной калибровкой, однако их появление во вторично квантованной полевой теории является странным и неестественным. Поэтому в такой теории это действие выглядит вычурным. Другими словами, подход BRST сам по себе не является физическим принципом.

(б) Во-вторых, в рамках геометрического подхода можно вывести всю полевую теорию, выделив фундаментальные физические принципы. Это метод «сверху вниз», наследующий дух теории Янга-Миллса и общей теории относительности. Теперь мы начинаем с единственной локальной калибровочной группы, введение которой основано на простых физических принципах, и требуем, чтобы действие было инвариантным относительно преобразований из этой группы. Основная задача такого способа рассмотрения состоит в выделении калибровочной группы струнной теории, нахождении ее неприводимых представлений, кривизны и самого действия.

В этой главе мы рассмотрим наиболее перспективный вариант геометрической теории.

Мы будем придерживаться аналогии с общей теорией относительности и теорией Янга-Миллса, которую можно вывести из двух простых принципов геометрического происхождения - глобальной и локальной симметрий.

Глобальная симметрия. Теория должна описывать распространение спиральностей, соответствующих чистым полям со спином 1 и со спином 2, преобразующихся как неприводимые представления группы и группы Лоренца.

Локальная симметрия. Действие должно быть локально инвариантным относительно действия группы и общековариантным.

(Первый принцип является физическим. Он определяет фундаментальные представления полей и утверждает, что они должны быть Истыми», т. е. не содержащими духов и высших производных. Мы не хотим включать в теорию духов типа высших производных; мы прямо исключаем из рассмотрения действия типа или содержащие высщие производные. Это означает, что первый принцип не может быть бедствием второго, поскольку локальная инвариантность сама по себе совместима с теориями, содержащими высшие производные.)

Выделив эти два физических принципа, для отыскания действия мы будем следовать следующей основной стратегии:

Иначе говоря, для того чтобы вывести действие, мы сначала начинаем с двух полей связности, по одному для каждой группы. Пусть - поля связности для генераторов группы а -поля связности генераторов группы Лоренца. Тогда с помощью этих полей можно построить следующие ковариантные производные:

Далее мы выписываем тензоры кривизны для этих двух групп:

И наконец, мы видим, что тензорное исчисление для указанных групп столь ограничительно, что оно допускает существование только одного действия, которое основано на этих тензорах кривизны, содержащих две производные, и это действие обладает как общековариантностью, так и локальной -инвариантностью:

Замечательно, что этих двух принципов, основанных на одной лишь теории групп, оказывается достаточно для определения единственного действия. Причина состоит в том, что тензорное исчисление (т.е. правила умножения неприводимых представлений и мера интегрирования) устанавливается калибровочной группой. Его не нужно вводить «вручную». Таким образом, тензорное исчисление столь ограничительно, что это приводит к выделению единственного действия.

Подобным образом мы следуем этой основной стратегии (8.1.1), свойственной обычной калибровочной теории точечной частицы и общей теории относительности, для того чтобы отыскать действие полевой теории струн. Мы предположим существование совершенно новой локальной калибровочной группы для струны, называемой нами объединенной струнной группой, и затем перейдем к построению ее представлений. Согласно основной стратегии (8.1.1), мы сначала строим ковариантные производные, затем кривизны и, наконец, само действие. При этом выясняется, что причина, по которой полевая теория струн кажется столь отличной от общепринятой калибровочной теории заключается в более богатой и сложной структуре неприводим представлений и тензорного исчисления для объединенной струнн группы по сравнению с группой Лоренца и .

Объединенная струнная группа в свою очередь может быть дале

разложена на две меньшие локальные калибровочные группы, а именно на репараметризационную и струнную группы.

Репараметризационная группа

Репараметризационная группа - это группа преобразований параметризации струн:

Ее обозначают Diff(S), где относится либо к открытой струне [0, 1], либо к замкнутой Группа порождается только нечетными генераторами Вирасоро и она является подгруппой Diff(S) (которая изоморфна конформной группе и порождается для всех отображают физические струны С в себя, т.е.

Важность репараметризационной группы станет для нас ясной, после того как мы полностью сформулируем теорию в пространстве петель, т.е. в пространстве физических, параметризованных пространственно-временных струн До сих пор в этой книге рассматривались только параметризованные струны и ни слова не было сказано о непараметризованных струнах С. Главный смысл объединенной струнной группы состоит в нахождении такой групповой структуры, переводящей одни струны в другие, которая была бы полностью определена в пространстве петель. Реальные физические процессы, описываемые геометрической теорией, должны обязательно развиваться в физическом пространстве непараметризованных струн.

Каждая из бесконечного множества струнных конфигураций представляется как отдельная точка в пространстве петель. Это важно потому, что пространство петель определяет физическую динамику взаимодействующих струн, вполне очищенную от всяческих калибровочных артефактов (таких, как параметризационные средние точки, параметризационные длины, духи Фаддеева-Попова, духовые числа), которые лишь затемняют рассмотрение того, что происходит в физическом пространстве-времени.

Пусть - вектор, соединяющий начало системы координат с точкой, обозначенной от на струне С. Потребуем, чтобы наше действие 86 зависело от конкретной параметрйзации т.е. для свободного действия выполнялось:

Математически это значит, что теория должна быть инвариантной относительно всех возможных диффеоморфизмов струны. Поэтому параметризационная длина

оказывается чистой фикцией.

В подлинно ковариантном формализме следует иметь возможность по желанию изменять параметризационную длину струны. Конечно со струной С связывается также реальная физическая величина, пред ставляющая ее действительную физическую инвариантную длину:

Данное выражение инвариантно при изменении параметризации:

Различие между фиктивной параметризационной длиной и физическим инвариантом явится главным фактором геометрического формализма. (Все калибровочно-фиксированные струнные полевые теории, такие как теория в калибровке светового конуса и BRST, основываются на фиктивной параметризационной длине. Для теории в калибровке светового конуса она пропорциональна для BRST равна к. Как мы увидим, геометрическая теория отталкивается от физической инвариантной длины измеряемой в сантиметрах.) Мы построим теорию на тензорах, инвариантных относительно вышеприведенного закона преобразования, что позволит изменять параметризационную длину в любой момент.

Струнная группа

Далее в рамках объединенной струнной группы мы хотим обсудить вторую группу симметрии, образованную взаимодействующими струнами. Определим триплет как набор из трех ориентированных физических струн (с произвольными параметризационными длинами) которые можно расположить как на рис. 8.1. Скажем, что две струны сопряжены друг другу, если они входят в один триплет. (Заметим, что струна имеет бесконечный ряд сопряженных. Сопряжение струны С будем обозначать С.) Тогда струнная группа есть совокупность преобразования С во все ее сопряжения, т. е.

Эти две группы, репараметризационная и струнная, в свою очередь могут быть объединены в один принцип.

Мы определяем универсальную струнную группу как группу, котор отображает струну С в себя и во все ее сопряжения:

При обобщении этой бозонной группы, связанном с включением

Рис. 8.1. Триплет трех струн. Три физические непараметризованные струны в цространстве петель образуют триплет, если они могут быть расположенными так, как на рисунке. Такое определение свободно от параметризационных средних точек и параметризационных длин. Точка соединения трех струн является произвольной.

пространственно-временной суперсимметрии, мы получаем объединенную струнную группу.

Располагая этой калибровочной группой, можно выделить два физических принципа, из которых мы выведем всю струнную теорию [1-5]:

Глобальная симметрия. Поля и должны преобразовываться по неприводимым представлениям глобальной группы Diff(S).

Локальная симметрия. Теория должна быть локально инвариантной относительно группы USG, которая отображает С в себя и в С.

Замечательно, что существует только одно выделенное действие, которое удовлетворяет обоим этим принципам. Преимущества этого геометрического действия состоят в следующем:

(1) Таинственный «духовый сектор» имеет простую и элегантную интерпретацию в геометрической теории. Мы увидим, что он соответствует касательному пространству.

(2) Оба варианта струнной полевой теории BRST можно получить как калибровочно-фиксированные варианты геометрической теории. Симметричную теорию BRST называем калибровкой, «склеивающей в средней точке», а BRST- теорию, подобную формализму светового конуса, - калибровкой, склеивающей струны концами. Эти калибровки соответствуют различным параметризациям геометрической вершины.

(3) Формализм определяется в пространстве петель и, следовательно, совершенно не зависит от параметризации или от классической фоновой гравитационной метрики .

(4) Правила умножения и интегрирования жестко устанавливаются теорией групп. Тем самым отпадает необходимость в их постулировании.

К сожалению, в случае общей теории относительности и теории Янга-Миллса вначале необходимо построить внушительный математический аппарат для анализа и общей ковариантности. Наибольшая часть

работы отводится на построение представлений групп и тензорного исчисления. После того как это сделано, выписывание самого действия занимает всего несколько строк. То же самое относится и к геометрической струнной полевой теории. В следующих шести разделах будем следовать основной стратегии (8.1.1) и терпеливо выведем для USG все представления, связности и кривизны. После этого на вывод самого действия в разд. 8.7 понадобится только одна страница.