§ 9.2. АНОМАЛИИ И ФЕЙНМАНОВСКИЕ ДИАГРАММЫ

Аномалии имеют очень глубокое происхождение [2-4]. Они проливают свет на динамику квантовой теории поля.

Аномалии возникают в том случае, когда симметрии классического действия не сохраняются на квантовом уровне. Классические симметрии не сохраняются, вообще говоря, после процедуры регуляризации квантовой теории. Существует два типа аномалий: глобальные и локальные.

Глобальные аномалии в калибровочных теориях на самом деле желательны. Например, глобальная аномалия масштабной инвариантности в КХД с безмассовыми кварками может порождать кварковые массы. Поэтому нарушение глобальной масштабной инвариантности из-за аномалий может быть причиной возникновения кварковых масс. Другая глобальная аномалия может быть ответственна за нарушение (-инвариантности кварковых моделей КХД до которая желательна с точки зрения феноменологии. Для модели суперструн глобальные аномалии, напротив, нежелательны. Например, если глобальные аномалии нарушают модулярную инвариантность многопетлевых амплитуд, это может иметь катастрофические последствия для внутренней согласованности и конечности теории. К счастью, можно показать, что глобальные аномалии, нарушающие модулярную инвариантность, отсутствуют в теории струн [5].

Локальные же аномалии и в калибровочной теории, и в теории суперструн должны быть устранены любой ценой, в противном случае эти теории не имеют смысла. Например, устранение киральных аномалий является одним из основных способов построения новых моделей кварков и лептонов. В стандартной модели кварки и лептоны имеют как раз такие киральности, которые необходимы для сокращения киральной аномалии. В теории суперструн локальные аномалии конформной инвариантности и киральной симметрии также должны быть устранены. Условие сокращения конформной аномалии фиксирует размерность пространства-времени, а также набор фермионов теории, тогда как требование сокращения киральных аномалий зафиксирует Калибровочную группу теории.

Мы начнем обслуживание с исследования простейшей локальной омалии, киральной аномалии, которая появляется вследствие того, процесс регуляризации (такой, как регуляризация Паули-Вилларса Или размерная регуляризация) не сохраняет киральной инвариантности. именно, если мы имеем теорию с инвариантностью вида

то из (1.9.8) следует ожидать сохранения на классическом уровне кирального тока

Однако вследствие квантования возникают осложнения. Метод

Паули-Вилларса, например, вводит мнимую массивную частицу в теорию для того, чтобы сделать все фейнмановские диаграммы сходящимися:

Пропагаторы, которые обычно сходятся как теперь сходятся как что делает все расходящиеся фейнмановские диаграммы сходящимися. Раз мы получили конечную -матрицу, то мы полагаем, что масса М мнимой частицы стремится к бесконечности. Однако массовые члены явно нарушают киральную инвариантность:

Таким образом, метод регуляризации Паули-Вилларса не сохраняет этой симметрии, и мы ожидаем, что дивергенция аксиального тока отлична от нуля. Мы не можем обеспечить сохранение тока и регуляризацию фейнмановских амплитуд одновременно. Но поскольку регуляризация теории более важна (иначе теории просто нет), это означает, что мы должны пожертвовать сохранением тока.

Аналогично, размерная регуляризация делает невозможным сохранение киральной инвариантности. Размерная регуляризация предполагает, что можно аналитически продолжить фейнмановские диаграммы на пространство комплексной размерности заменой

Нетрудно обобщить след дираковских матриц для взаимодействия векторных частиц, но это нарушает вид взаимодействия аксиальных векторов, так как в пространстве комплексной размерности нет аналога матрицы

Метод размерной регуляризации не работает для киральных фермионов, потому что в этой регуляризации невозможно обобщить матрицу на комплексную размерность.

Мы ожидаем поэтому, что дивергенция аксиального тока не сохраняется. Действительно, диаграмма «вектор-вектор-аксиальный вектор» (ВВА) нарушает сохранение аксиального тока. Треугольная диаграмма требует аккуратной регуляризации, так как каждая внутренняя фермионная линия, циркулирующая внутри треугольной диаграммы, сходится только как 1, что недостаточно для того, чтобы дать нам сходящийся граф, и, следовательно, приводит к неоднозначное

Тщательно регуляризуя треугольную диаграмму, мы получаем в итоге

что представляет собой топологический член или полную производную тока, заданного формулой

Этот результат для треугольной диаграммы получается в четырех измерениях. Однако вывод аномалии может также быть обобщен на -мерные киральные теории, в которых треугольный граф заменяется многоугольным графом. Начнем с записи фейнмановских правил для внешних векторных и аксиально-векторных частиц, взаимодействующих сфермионом спина 1/2. Возьмем внешнюю векторную частицу, одну аксиально-векторную частицу с внешним импульсом поляризацией и изотопическими индексами , взаимодействующую с фермионом, имеющим внешний импульс Фейнмановские правила заключаются в сопоставлении

Мы предполагаем, что внешние частицы находятся на массовой поверхности, что векторы поляризации обращаются в нуль при свертке с внешними импульсами и что сумма внешних импульсов равна нулю, что

Тогда фейнмановские правила для многоугольного графа дают

Выделим наиболее сильно расходящуюся часть этой диаграммы.

Отметим, что след по членам, содержащим может быть вычислен в явном виде:

Заметим, что антисимметричная матрица возникает только тогда, когда мы берем след от -матриц, умноженных на Перегруппируй различные содержащие импульсы множители, которые теперь должны быть свернуты в антисимметричную матрицу. Заметим, что сохранение импульса редуцирует число независимых импульсных коэффициентов одного. В общем случае остаются только члены вида

Теперь мы имеем прямую корреляцию между числом внешних линий и числом измерений пространства - времени, так как антисимметричный тензор имеет ранг Таким образом, для ведущего расходящегося члена должно выполняться соотношение

В четырех измерениях это означает, что треугольная диаграмма расходится. В 10 измерениях это означает, что шестиугольный граф расходится. Отметим также, что (9.2.14) дает явное выражение для аномальных членов. Внешние импульсы могут быть заменены производными тензор поляризации может быть заменен полем Атак что можно заменить свертки с сверткой с тензором Янга-Миллса Следовательно, после преобразования Фурье мы получим соответствие:

Собирая все множители, получаем [6-8]

Аналогично, в теории гравитации, взаимодействующей с киральнымй фермионами, также существует аномалия, которая по-прежнему пропорциональна полной производной или топологическому члену. Если мы присоединим внешние гравитонные линии к распространяющимся в внутренней области однопетлевого графа киральным фермионам, то М можем повторить наш предыдущий анализ, использующий феинм новские диаграммы. Главное отличие определяется тремя факторами:

(1) Теперь мы должны включить взаимодействие фермионов с тензором энергии - импульса, а не с киральным током. действие гравитонов с фермионами происходит через тетрады (поскольку не имеет конечномерных спинорных представлений; см. приложение).

(2) Внешний вектор поляризации заменяется при этом на внешний тензор поляризации

(3) Вертексные функции содержат теперь тензорные компоненты более высокой степени.

Однако главная расходящаяся часть диаграммы по-прежнему содержит тензор свернутый с внешними импульсами и внешними тензорами поляризации Как и прежде, нетрудно перегруппировать все множители и показать, что ведущая расходимость в х-пространстве может быть собрана в тензоры кривизны. Например, для взаимодействия аксиального вектора и двух тензоров энергии-импульса в четырех измерениях получаем

В теории гравитации в двух и четырех измерениях имеются два хорошо известных выражения, являющиеся полными производными. Возьмем знаменитое тождество Гаусса-Бонне

которое мы докажем ниже. Здесь эйлерова характеристика двумерного многообразия свернутый тензор кривизны и род замкнутого многообразия (т.е. число дырок или ручек). Это тождество возможно в силу того, что скалярная кривизна в двух измерениях является полной производной.

В четырех измерениях при некоторых определенных значениях чисел и с мы имеем следующее тождество:

Обычно интеграл от полной производной равен нулю. Однако это веверно, если многообразие имеет границу или нетривиальную топологию. В этом случае интеграл от полной производной зависит от границы и топологии. Так, интеграл от свернутого тензора кривизны двумерного замкнутого многообразия является линейной функцией рода поверхности, т.е. числа дырок на поверхности, являющегося топологическим числом. В этом и заключается связь между аномалиями, полными Производными и топологическими числами.

Как калибровочные, так и гравитационные аномалии могут быть получены из фейнмановских диаграмм. Однако для более высоких размерностей это становится крайне затруднительным. Для более высоких размерностей число индексов очень быстро растет. Вместо того

чтобы обобщать эти результаты на высокие размерности, мы получим нужные нам выражения с помощью функционального формализма, аппелируя к фейнмановским диаграммам.