§ 8.8. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ КАЛИБРОВКА

На первый взгляд симметричная вершина BRST, которую образуют струны, взаимодействующие через свои средние точки, и вершина типа светового конуса, в которой струны взаимодействуют на концах, кажутся совершенно различными. Однако обе они являются калибровочно-фиксированными вариантами геометрической теории. В результате мы называем первый формализм «калибровкой, склеивающей в средней точке» а второй - «калибровкой, склеивающей концами» . В геомерической теории мы можем выбрать еще одну калибровку» «интерполяционную», которая равномерно интерполирует между калибровками МР и ЕР. Интерполяционная калибровка также представля собой калибровочно-фиксированный формализм, так как она основы ется на -образной вершине с произвольными длинами струн. Нала условие равенства всех параметризационных длин, мы имеем калибровку требуя, чтобы одна нога в -конфигурации имела нуле У параметризационную длину, получаем калибровку ЕР.

Очень важно обратить внимание на то, что геометрическая вершина (8.3.9) содержит обе калибровки, как МР, так и ЕР. Когда мы функционально интегрируем по мы интегрируем по всем возможным параметризациям одной и той же пространственно-временной конфигурации. Поэтому в это интегрирование также входят обе параметризации и МР, и ЕР. Имеется важнейшее утверждение, состоящее в том, что мы можем параметризовать физическую триплетную вершину либо в либо в ЕР-калибровке. Таким образом, фиксация калибровки соответствует выделению единственного представителя из каждого класса эквивалентности физически различных струнных конфигураций.

Покажем, что и ЕР-калибровки отличаются друг от друга только мерой. Для этого построим интерполяционную вершину в явном виде.

Интерполяционная вершина удовлетворяет связи

где

Полагая абсолютную величину равной , мы получаем отсюда МР-калибровку; фиксируя приходим к ЕР-калибровке.

Чтобы построить такую вершину, необходимо конформное преобразование, которое переводит верхнюю часть -плоскости в многолистную -плоскость. Такое преобразование определяется [3] формулами

Многолистной плоскости обязательно имеется риманов разрез. Мы знаем его расположенным вертикально от до Выберем знак для квадратного корня при и знак при

Путем утомительных, но прямолинейных вычислений находим

- корни уравнения Теперь, используя технику разработанную в теории светового конуса, можно найти из конформного преобразования функции Неймана для нашей вершины. Вычисление основывается на разложении функции по коэффициентам можем проверить, что в пределе светового конуса снова получается вершина в калибровке светового конуса. В симметричном пределе получается новый степенной ряд для функций Неймана, который должен быть эквивалентен вычислениям в МР-калибровке.

Используя интерполяционную вершину запишем действие в интерполяционной калибровке:

где Параметризационную длину всегда можно изменить следующим преобразованием:

Отметим, что мы квантуем теорию с фиксированной величиной Струнные поля различных струнных длин определяются через Иными словами,

Если бы фактор появившийся в предыдущем уравнении, был заменен на мы бы имели ненужное бесконечное количество гильбертовых пространств для каждой возможной струнной длины.

Фейнмановские правила для интерполяционной калибровки таковы:

для произвольного Явно сокращая эти факторы находим, что можем тривиальным образом вернуться к МР-калибровке. Однако, когда мы устраняем эти факторы и переходим к ЕР-калибровке, возникает ряд замечательных тождеств для функций Неймана, позволяющих вывести четырехструнное взаимодействие (6.7.6) [4]. Мы находим, четырехструнное взаимодействие не следует включать в действие при использовании тетрады; это калибровочный артефакт, аналог четырехфермионного кулоновского члена, найденного в В калибровк МР, интерполяционной и -диаграммы связываются объединенной струнной группой следующим образом:

где Для -рассеяния имеем для -рассеяния При последний член становится обычным четырехструнным взаимодействием формализма светового конуса. Если же то мы имеем четырехструнное взаимодействие для интерполяционной калибровки. При получаем исчезновение четырехструнного взаимодействия в МР-калибровке:

Итак, мы видим, что четырехструнное взаимодействие не является фундаментальным взаимодействием, а представляет собой побочный продукт преобразования четырехточечной функции от к ЕР-калибровке. Фактически из (8.8.9) можно видеть, что оно в точности равняется квадрату интерполяционной вершины. Аналогичная ситуация имеет место в где мгновенный четырехфермионный кулоновский член есть точный квадрат трехвершинной свертки поля с двумя фермионными полями.

В случае замкнутых струн ситуация еще более удивительна. Все предшествующие формулировки для замкнутой струны нарушали модулярную инвариантность. Пространство модулей или избыточно (благодаря лишнему бесконечному интегрированию по фиктивным струнным длинам), или недостаточно полно (из-за недостающей области Интегрирования, если мы используем обобщение вершины Виттена). Решение проблемы состоит в использовании геометрической струнной Полевой теории.

Во-первых, решается проблема многократного учета пространства Модулей, поскольку фиктивные параметризационные длины являются колибровочными параметрами. Во-вторых, когда мы переходим к МР-калибровке, возникает новое четырехструнное взаимодействие замкнутых струн, которое точно заполняет недостающую область интегрирования. Это новое четырехструнное взаимодействие замкнутых струн Меет топологию тетраэдра. Каждая грань тетраэдра соответствует одному из четырех состояний замкнутых струн. Детальное компьютерное вычисление показало, что новый тетраэдрический граф заполняет недостающую область комплексной плоскости [2].

Гладко подходя к калибровке светового конуса, находим, что тераэдрический граф исчезает. Когда же мы гладко изменяем параметризационные

длины до их равенства, то обнаруживаем, что тетраэдрический граф теперь занимает большую часть комплексной плоскости. В промежуточной области интерполяционной калибровке соответ. ствует тетраэдрический граф, который гладко связывает калибровки МР и ЕР. Заметим, что эта ситуация прямо противоположна найденной в полевой теории открытых струн.

Детали этого построения можно найти в [2].