§ 8.5. ДУХОВЫЙ СЕКТОР И КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

До сих пор многие из манипуляций с представлениями USG без практического применения к известным струнным полевым теориям могли казаться несколько формальными. Однако единственная цель этого экскурса в теорию групп состоит в том, чтобы объяснить некоторые из довольно загадочных аспектов теории BRST. Поэтому мы сейчас покажем, что теория USG способна ответить на следующие вопросы:

(а) Почему базисное поле BRST равно транкированному полю с духовым числом — ?

(б) Каково происхождение «духового сектора» теории?

(в) В чем состоит значение тождества ?

(г) Каким образом можно получить свободное действие

Теория групп дает ответы на все эти вопросы.

Начнем с основного поля BRST:

Здесь мы суммируем по всем возможным духовым возбуждениям при наличии ограничения, вносимого оператором который транкирует поле к сектору с духовым числом — 1/2.

Хотя это поле постулировалось в подходе в BRST, в геометрической теории оно имеет довольно простое происхождение. Можно показать, это поле в точности является модулем Верма [1], т. е. что

Доказательство основывается на вычислении «характера» каждого Пространства. Характер пространства V - это такая функция переменной которой коэффициент разложения в ряд Тейлора представляет собой число состояний, существующих на уровне

Если пространство является неприводимым модулем Верма, то можно показать, что размерность уровня равна числу делителей числа . (Это можно увидеть, подсчитывая число состояний на уровне.) Таким образом, характер неприводимого модуля Верма равен

(Отметим, что этот результат просто воспроизводит корреляционную функцию однопетлевой амплитуды.)

Можно показать, что характер неприводимого модуля Верма и характер транкированного по духовому числу — 1/2 духового спектра совпадают на всех уровнях:

После того как мы убедились, что модуль Верма и пространство BRST имеют одинаковое число состояний, последний шаг тривиален: нужно показать, что два модуля Верма имеют одни и те же величины .

Итак, BRST-поле Ф (X, является приводимым представлением группы USG. Смысл транкирования по духовому числу — 1/2 поля BRST в том, что оно дает неприводимое представление. Следовательно, мы имеем простую интерпретацию операции транкирования, которая всегда должна выполняться в подходе BRST. Она соответствует переходу от приводимого к неприводимому представлению группы USG.

В последнем разделе, посвященном формализму BRST, мы видели, что прием транкирования для замкнутых струн и суперструн с несколькими взаимоисключающими выборами вызвал большое замешательство. В геометрическом подходе существует только одно транкирование - неприводимое.

Далее мы покажем, что весь духовой сектор соответствует касательному пространству USG. Рассмотрим, например, обычное четырехкомпонентное поле Дирака При глобальном преобразований Лоренца лоренцевский генератор имеет две части, радиальную (зависящую от I) и орбитальную (спинорную):

где - спинорное представление лоренцевских генераторов.

Аналогично, глобальные репараметризации струны естественным образом разбиваются на радиальную (зависящую от X) и орбитальную (модуль Верма) части:

где второй оператор действует только на модули Верма. Коммутирование полного генератора с самим собой дает

(Полный генератор репараметризации, который является суммой

радиальных и орбитальных мод, имеет правильные коммутационные отношения только при Отсюда в геометрической теории розникает 26-мерное пространство.)

Однако при рассмотрении локальных преобразований ситуация становится более сложной как для частицы Дирака, так и для струны, частности, необходимо касательное пространство, потому что никаких конечномерных спинорных представлений группы не существует. Вот почему мы вынуждены вводить касательное пространство для спиноров в общей теории относительности. У нас просто нет выбора. Иными словами, спинорные и радиальные компоненты моды дираковского спинора преобразуются под действием двух совершенно различных локальных групп:

Здесь параметризует локальные преобразования Лоренца, а общие координатные преобразования.

Сходная ситуация сохраняется и в теории струн. Ранее мы видели, генерируют группу Diff(S), в то время как четные генераторы генерируют только подгруппу

Суть дела в том, что (а) не может содержать все диффеоморфизмы струны, т. е. представление Diff(S) на одном струнном поле не существует. При -репараметризации поле преобразуется только под Действием подгруппы, генерируемой

Отсюда мы видим, что радиальные и орбитальные части поля Должны преобразовываться под действием двух различных групп. Модуль Верма может преобразовываться под действием полной группы тогда как радиальная часть - нет. Итак, при локальных преобразованиях радиальная и орбитальная части преобразуются под Действием двух различных групп:

Отметим, что у каждой струнной координаты X существует отдельное преобразование Diff(S), действующее на модуль Верма. В результате является группой симметрии касательного пространства, но не группой преобразования переменных, зависящих от X.

Назовем представление Diff(S) конформным (следовательно, модуль Верма конформный). Тогда наш основной результат таков: необходимо введение касательного пространства, поскольку конформного представления не существует. Этот результат объясняет происхождение духового сектора. Итак:

Аналогичным образом, исходя из соображений теории групп, можно также объяснить, почему В обычной теории точечной частицы где следует из того факта, что плоское пространство-время инвариантно при параллельных перемещениях, т.е.

Для того чтобы доказать подобное утверждение для теории струн, найдем аналог оператора дифференцирования. Сначала вспомним, что наш первый принцип требует глобальной инвариантности теории относительно полной группы Diff(S), а не только относительно ее подгруппы Однако мы замечаем, что производная

не подходит, поскольку она преобразуется только под действием а не полной группы Diff(S). Таким образом, дцсу не удовлетворяет первому принципу. Оператор дифференцирования с правильными свойствами имеет вид

При преобразованиях, генерируемых дцсу превращается в Х и наоборот. Определим теперь ковариантную относительно глобальных преобразований производную

(Здесь фурье-компоненты да включают полный набор генераторов Остановимся на наиболее общей производной веса 2, которая представляет собой сумму радиальной и орбитальной частей:

где а произвольно. Вычислим коммутатор Для этого нужно определить действие на смешанный тензор:

Требуя обращения в нуль коммутатора

находим, что следует выбрать либо либо Если мы хотим устранить аномальные члены, то первый

выбор исключается, а второй сохраняется с точностью до слагаемых, обрашающихся в нуль при свертке с уст. Примем первую из этих возможностей. Тогда легко показать, что

нильпотентная комбинация.

Таким образом, нильпотентность оператора означает в обращение в нуль коммутатора двух ковариантщлх производных т. е. имеет то же самое происхождение, что и нильпотентность комбинации которая является следствием обращения в нуль коммутатора ковариантных Тфоизводных

Наконец, объясним, откуда берется Так как не есть постоянный тензор, то действия типа Клейна-Гордона, содержащие , не существуют. (Возможны только действия типа Дирака, включающие В частности, неприемлемы следующие действия:

Их веса суть 2, 2 и 4 соответственно, тогда как инвариант должен иметь вес 1. Фактически легко видеть, что построить действие из одних скалярных струнных полей невозможно. В течение ряда лет предпринималось множество попыток, но только сейчас теория групп показала их тщетность.

Иногда задается вопрос: действительно ли необходим в ковариантной струнной полевой теории духовый сектор? Ответ, который мы теперь получаем из теории групп, - да. Касательное пространство абсолютно необходимо, потому что не является постоянным тензором, а действия типа Клейна-Гордона неинвариантны.

Хотя скалярные поля должны быть исключены из рассмотрения, но инвариантное действие с вышими тензорными полями написать Можно:

Эти действия, в свою очередь, инвариантны при преобразованиях

Можно также показать, что первое действие, включающее является на самом деле вариантом второго действия с фиксированной калибровкой, причем А" инвариантно при преобразованиях

Это означает возможность устранения всей зависимости от от в т. е. замены на так что первое действие получается при фиксации калибровки второго.