§ 10.6. ОДНОПЕТЛЕВАЯ АМПЛИТУДА

Подлинной проверкой теории является вычисление однопетлевой диаграммы [6,7]. Потребуем, чтобы в однопетлевом приближении теория была конечной. В терминах введенных выше вершин и пропагаторов нетрудно выписать теперь однопетлевую диаграмму:

где мы рассматриваем рассеивание заряженными калибровочными волями.

Как и прежде, вычисление следа является длинным, но непосредственным. После вычисления следа имеем

где

и где

Здесь сумма по означает сумму по всем точкам на решетке, а К является кинематическим множителем, совпадающим с найденным для древесного приближения в (10.5.14). Поскольку окончательный результат имеет такое большое сходство с однопетлевой амплитудой суперструны, нетрудно показать, что амплитуда инвариантна относительно преобразований

Несколько более трудным является доказательство того, что интеграл инвариантен относительно преобразований что необходимо для доказательства модулярной инвариантности.

К счастью, большинство членов под интегралом совпадают с найденными в (5.5.1) для однопетлевой амплитуды. Однако мы должны проверить инвариантность членов, не совпадающих с ранее найденными, т.е. зависящих от решетки множителей.

Как и ранее, функция преобразуется, если мы наложим на ее аргументы условие модулярной инвариантности, следующим образом:

где Поскольку функция может быть записана через тета-функции, мы имеем

Функция распределения также преобразуется по формулам

Наиболее важным преобразованием является преобразование

Последнее тождество в значительной степени зависит от того, будет ли решетка автодуальной или нет, что, возможно, является наиболее серьезным аргументом при выборе такого ограничения на решетку. Соберем все эти множители вместе:

В (10.6.11) есть два типа множителей, которые, как кажется, нарушают модулярную инвариантность. Это различные степени и экспоненты содержащие т. К счастью, эти два типа множителей устранимы.

Множители, содержащие в различных степенях, сокращаются в силу того, что

Поэтому получаем Экспоненциальные множители также исчезают в силу того, что

Как только степени и экспоненты от устранены в (10.6.11), мы находим, что эта комбинация является модулярно инвариантной.

Инвариантность амплитуды относительно преобразований означает, что можно ограничить область интегрирования:

К тому же в случае замкнутой однопетлевой диаграммы в силу инвариантности относительно преобразований в качестве области интегрирования по можно выбрать фундаментальную область:

Выбор такой фундаментальной области позволяет нам избежать возможной сингулярности в , следовательно, мы имеем конечное однопетлевое действие. В нашем подходе модулярная инвариантность сыграла решающую роль при доказательстве того, что амплитуда, как и в случае обычной суперструны, является конечной. Мы можем просто выбрать фундаментальную область, где сингулярности отсутствуют. Однако вычисления не проясняют, почему теория является модулярно Инвариантной. Проанализируем простейший случай и выявим причины возникновения модулярной инвариантности. Для упрощения сути дела Рассмотрим вакуумную однопетлевую амплитуду без внешних линий.

Определим сначала функцию (которая появляется в вычислении следа в (10.6.1)):

где мы суммируем по узлам решетки, X - произвольный 16-мерный вектор на корневой решетке и координатами каждого узла являются

целые числа

Заметим, что функция периодична, т.е.

поскольку этот сдвиг может быть представлен как переопределение целых чисел Запишем теперь эту функцию в терминах ее фурье-преобразования

Отметим, что поскольку периодична, векторы М должны лежать на дуальной решетке:

Чтобы выразить через выполним обратное фурье-преобразование:

где объем тора. Теперь подставим выражение для в предыдущее уравнение. Проинтегрировав, получаем для следующее явное выражение:

Теперь мы хотели бы подставить в выражение для однопетлевой вакуумной амплитуды. Мы должны вычислить след гамильтониана, содержащего При вычислении следа появляется функция

Сравнивая с (10.6.14), получаем

Подставляя теперь выражение для получаем следующее выражение для

где есть не что иное, как определенная в (10.6.21) функция на

дуальной решетке. Это является ключевым результатом.

Итак, мы видим, что модулярное преобразование заменяет решетку дуальной решеткой. Поэтому для того, чтобы имела место модулярная инвариантность, потребуем, чтобы решетка была автодуальной. Фактически именно модулярная инвариантность приводит к условию инвариантности решетки. Здесь мы видим тесную связь между автодуальностью (что ограничивает наш выбор либо группой либо группой и модулярной инвариантностью. Хотя первоначальный выбор этих групп возникал из требования сокращения аномалий, мы видим, что те же самые группы необходимы для выполнения условия модулярной инвариантности и конечности амплитуды.