§ 1.10. РЕЗЮМЕ

Самый большой парадокс теории струн, которая призвана обеспечить единый подход ко всем известным взаимодействиям, состоит в том, что сама эта теория столь неупорядоченна. Она часто вызывает разочарование у начинающих ее изучать, поскольку в ней очень много исторических традиций, условностей и произвольных правил игры, не имеющих идейного обоснования. Важнейшая причина такого положения - то, что теория струн исторически развивалась в обратном направлении как первично квантованная теория, а не как вторично квантованная теория, в которой все соотношения определяются через фундаментальную величину - действие. Недостатки подхода первичного квантования следующие:

(1) Взаимодействия приходится вводить вручную. Их нельзя вывести из одного действия.

(2) Унитарность в этом подходе не очевидна. Подсчет диаграмм требует трудоемкой проверки.

(3) Формулировка проводится в рамках теории возмущений, так что важнейшие непертурбативные вычисления, вроде размерной редукции, неосуществимы.

(4) Теория формулируется только на массовой поверхности.

Напротив, преимущества подхода вторичного квантования состоят именно в том, что все может быть выведено из единственного действия, определенного вне массовой поверхности, что унитарность обеспечивается явным образом и что непертурбативные вычисления в принципе могут быть выполнены.

К сожалению, теория струн исторически развивалась как теория первичного квантования. Поэтому она строилась в обратном направлении, и геометрическая теория вторичного квантования все еще находится в младенческом возрасте. По причинам педагогического характера мы ввели теорию струн с квазиисторической точки зрения, начав с теории первичного квантования и затем развив теорию вторичного квантования и изложив геометрические факты, лежащие в ее основе. Мы надеемся, что в будущем эту последовательность изложения удастся обратить. Чтобы по возможности снизить масштабы произвола при построении

теории первичного квантования, в этой главе мы попытались заложить основы теории струн в формализме континуального интеграла. Этот функциональный формализм обладает огромным преимуществом - возможностью выражать калибровочные теории первичного и вторичного квантования с одинаковой легкостью. Мы находим, фактически, что значительную часть теории точечных частиц в формулировке континуального интеграла можно целиком включить в теорию струн.

Метод континуального интеграла постулирует два основополагающих принципа, выражающих сущность квантовой механики:

(1) Вероятность того, что частица переместится из точки а в точку дается квадратом модуля функции перехода

(2) Функция перехода задается суммой фазовых множителей где есть действие, взятой по всем возможным путям, ведущим из

В пределе непрерывных путей (траекторий) получаем

где

Действие первично квантованной точечной частицы дается длиной траектории, прочерчиваемой частицей в пространстве-времени. Лагранжиан для точечной частицы можно представить тремя способами:

К сожалению, из-за того, что все эти три формы действия параметризационно инвариантны, континуальный интеграл расходится. Поэтому процедура квантования должна разрушить эту калибровочную симметрию и дать правильную меру для функционала.

Эти формы действия можно квантовать тремя разными способами, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Вот эти способы.

(1) Кулоновское квантование

Явным образом зафиксировав значение некоторых полей, например

положив

мы можем устранить мешающие нам состояния с отрицательной метрикой, и лагранжиан примет вид Кулоновское квантование поэтому явно свободно от духов. Однако недостаток этого метода - то, что он очень неудобен, поскольку явная лоренц-инвариантность разрушается и должна быть проверена на каждом уровне.

(2) Квантование Гупты-Блейлера

Преимущество метода квантования Гупты-Блейлера состоит в том, что мы получаем явно ковариантную программу квантования. Конечно, теперь духи с отрицательной метрикой могут свободно циркулировать по теории, но они в конечном итоге устраняются наложением калибровочных условий непосредственно на гильбертово пространство:

Так, -матрица в конце концов оказывается свободной от духов. Недостаток этого подхода, однако, в том, что наложение этих калибровочных условий, особенно на уровне взаимодействий, часто весьма затруднительно.

(3) BRST-квантование

Этот метод квантования сохраняет достоинства обоих предыдущих. Теория является явно ковариантной, но -матрица по-прежнему унитарна, поскольку добавление к теории духовых полей в точности компенсирует сокращающиеся с ними состояния с отрицательной метрикой. Метод BRST налагает калибровку в форме первого порядка и затем вставляет член Фаддеева-Попова в функционал, чтобы получить правильную меру. Можно ввести этот определитель в действие в экспоненциальной форме, использовав грассмановы переменные:

Полученное действие с фиксированной калибровкой обладает остаточной симметрией, которая порождается BRST-зарядом а. (Эта новая симметрия не приводит к устранению каких-либо новых полей.)

При обобщении этих методов на случай взаимодействий формулировка континуального интеграла начинается с основополагающей формулы для функции перехода -частичного рассеяния:

Описание амплитуды -частичного рассеяния в рамках первичного квантования неудобно, потому что оно требует явного суммирования по конкретным топологиям, которые должны быть введены в теорию вручную. Это значит, что унитарность не очевидна в формализме первичного квантования. Ниже мы увидим, что эта трудность первично квантованной теории точечных частиц прямо переносится в первично квантованную теорию струн. В описании вторичного квантования, напротив, все топологии можно явным образом вывести из одного действия.

Переход от описания первичного квантования к описанию вторичного квантования в формализме континуального интеграла можно выполнить очевидным образом. Например, пропагатор можно записать как на языке первичного квантования, так и на языке вторичного квантования:

где

Последнее уравнение задает лагранжиан для волнового уравнения Шрё-дингера, которое можно вывести, исходя из постулатов континуального интеграла и формы лагранжиана

В случае взаимодействий также возможно найти вертексы вторичного квантования из теории первичного квантования точно тем же способом. Мы просто записываем функциональный интеграл по мировому листу, где точечные частицы расщепляются на точечные частицы, а затем записываем эту функцию Грина как функциональный интеграл по вторично квантованным полям.

Мы вскоре увидим преимущества тщательного выяснения деталей континуального интеграла для точечных частиц. Мы обнаружим, что почти весь этот формализм переносится непосредственно в формализм теории струн!

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)