§ 10.9. ЛОРЕНЦЕВЫ РЕШЕТКИ

До сих пор мы обсуждали гетеротические струны, в которых один сектор компактифицирован от 26 до 10 измерений. Далее в соответствии с общепринятым подходом мы должны компактифицировать 10-мерное пространство до -мерного пространства-времени. Однако существует другая интересная возможность: непосредственно компактифицировать 26- и 10-мерные пространства к измерениям с самого начала, минуя промежуточную стадию. В этом и состоит подход Нараяна [13,14] позволяющий получить калибровочные группы ранга большего, чем у рассматривавшейся до сих пор группы

Начнем с рассмотрения обоих 26- и 10-мерного секторов и Компак тифицируем их к пространственно-временным измерениям. Тогда левый сектор имеет а правый сектор компакти фицированных измерений. Параметризуем компактифицированные

измерения следующим образом:

где меняется от 1 до от 1 до Заметим, что выполняется соотношение гарантирующее, что число некомпактифицированных пространственно-временных измерений в обоих секторах равно

Потребуем теперь, чтобы оператор аннулировал состояния, поскольку выбор начала отсчета координаты от для замкнутой струны несущественен. Это приводит к условию

Формула для массы при этом имеет вид

Отметим, что все эти уравнения редуцируются к уравнениям для обычной гетеротической струны, если взять

Покажем теперь, что окончательный результат модулярно инвариантен. Это приводит к новому ограничению на решетку, которая пока еще остается произвольной. Однопетлевое вычисление (10.6.2), выполненное для общего случая, практически совпадает с результатом для обычной гетеротической струны. Тщательный анализ показывает, что в общем случае мы получим новый множитель

Рассмотрим теперь изменение этого множителя при преобразовании Легко видеть, что добавится новый фазовый множитель

Для сокращения этого члена необходимо положить

Из-за этого добавочного знака «минус» метрика на решетке является «лоренцевой», а не евклидовой. (Для обычной гетеротической струны равняется нулю, поэтому мы никогда не сможем увидеть лоренцев Характер решетки.)

И наконец, если мы применим модулярное преобразование — то найдем, что решетка должна быть автодуальной. Короче говоря, модулярная инвариантность на однопетлевом уровне сохраняется, если мы возьмем четную автодуальную лоренцеву решетку.

Можно показать, что такие лоренцевы решетки действительно существуют, если выполняется условие для целых В нашем случае

Мы также можем вычислить число параметров такой решетки. Можно показать, что лоренцева решетка единственна с точностью преобразований группы Но формулы для масс, которые мы получили, инвариантны только относительно групп Следовательно, полное число параметров равно

Таким образом, полное число параметров, характеризующих решетку, равно

С помощью этого метода компактификации мы значительно увеличим число допустимых групп. Полный ранг группы теперь равен 26 — Это означает, что в нашем распоряжении есть такие большие группы, как В четырех пространственно-временных измерениях это дает При мы также можем получить группу или где может быть либо либо Можно взять также группу где группа должна иметь корни равной длины.

Эти рассуждения могут навести на мысль, что лоренцевы решетки представляют собой совершенно новый способ компактификации гетеротической струны. На самом деле это не совсем верно. Оказывается, что все же можем получить лоренцеву решетку в рамках обычной гетеротической струны. Рассмотрим, например, следующее действие для струны в присутствии фоновых полей:

где пробегает от 1 до 16, - антисимметричный тензор, -антисимметричный тензор в двумерном пространстве. Предположим, что ди, и поля аппроксимированы постоянными фоновыми полями. Заметим, что полное число параметров в этом подходе может быть найдено подсчетом числа независимых мод таких полей для полного числа параметров

Проквантуем теперь эту систему, предполагая, что X аппроксимируется выражением

Подставим теперь это выражение в действие, квантуя систему в присутствии этих постоянных фоновых полей. Отличие от нуля этих фоновых полей добавляет новых параметров в процесс компактификации, что в точности совпадает с числом новых параметров, введенных компактификацией на лоренцеву решетку. Более того, можно показать, что обычная компактификация в присутствии таких фоновых полей эквивалентна компактификации на лоренцевы решетки.

Компактификация на лоренцеву решетку не только эквивалентна общепринятой схеме компактификации в присутствии фоновых полей, но также дает очень удобный способ систематизации чрезвычайно большого числа возможных компактификаций.