§ 2.8. ЗАМКНУТЫЕ СТРУНЫ

До сих пор наше обсуждение было применимо лишь для открытых струн, для которых внешние тахионы прикреплялись к конечным точкам конформной полосы, заметаемой струной. Полюсы появляются в модели Венециано, когда две точки расположенные на краю полосы, близко подходят друг к другу. Теперь рассмотрим модель Шапиро-Вирасоро, основанную на замкнутых, а не на открытых струнах и соответствующую континуальнуму интегралу, взятому по трубке (или сфере), заметаемой замкнутой струной. Структура полюсов этой модели намного обширнее исходной функции Венециано, поскольку внешние состояния могут прикрепляться в любом месте поверхности трубки при ее движении в пространстве-времени [21]:

Эта функция, в отличие от описанной выше функции Венециано, имеет полюса одновременно во всех трех каналах, а не лишь в двух. Это выражение легко обобщить, чтобы получить -точечную функцию:

где

Как и в случае функции Венециано, полюсы этой амплитуды появляются при сближении двух переменных но теперь полюсы могут

встретиться в любой точке комплексной плоскости, а не только на вещественной оси.

Наша исходная точка при квантовании замкнутой струны - это выражения (2.2.21), дающие разложения струнной переменной и сопряженной ей переменной по нормальным модам. Канонические коммутационные соотношения остаются теми же, что в (2.2.7), что приводит к гамильтониану (2.2.22). Как и в случае открытой струны, мы можем разложить амплитуду на вертексы и пропагаторы в формализме гармонических осцилляторов, но появится несколько важных отличий.

(1) Теперь у нас будет два набора взаимно коммутирующих гармонических осцилляторов по которым нужно вести суммирование, а не один набор, как в случае открытой струны.

(2) Условия Вирасоро теперь состоят из двух наборов конформных генераторов действующих на физические состояния:

(3) Нам придется интегрировать по всем сдвигам переменной от, так как состояния замкнутой струны должны быть независимы от выбора точки отсчета переменной .

(4) Амплитуда не является просто последовательным произведением вертексов и пропагаторов. Поскольку внешние линии могут возникнуть повсюду в комплексной плоскости, необходимо суммировать по всем различным упорядочениям внешних линий.

(5) Фиксация веса вертексной функции равным 1 и применение соображений сокращения аномалий показывают, что интерсепт для замкнутой струны должен быть равен 2, а это значит, что теория с необходимостью содержит безмассовый гравитон. Фактически линеаризованная общековариантная калибровочная симметрия общей теории относительности возникает просто как низший порядок калибровочной симметрии Вирасоро (подробнее об этом будет говориться в гл. 7).

Начнем с обсуждения пропагатора:

На самом деле это выражение имеет простую физическую интерпретацию. Заметим, что множитель, содержащий разные в знаменателе, есть просто обычный пропагатор замкнутой струны. Однако функция, содержащая синусы, равна нулю, кроме случая

Рис. 2.9. Конформные поверхности для распространения замкнутых струн. В плоскости струна распространяется по горизонтальной полосе шириной с отождествленными верхней и нижней границами, что топологически эквивалентно трубке. В отличие от случая открытой струны, внешние линии прикрепляются не на границе, а во внутренних точках поверхности. В плоскости эта поверхность переводится экспоненциальным отображением на всю комплексную плоскость.

Это можно представить в виде

Оператор (2.8.7) можно интерпретировать двояко. Если явным образом выполнить интегрирование, мы получим оператор . Это оператор проектирования, действующий на полное гильбертово пространство и уничтожающий состояния не удовлетворяющие условию . С другой стороны, заметим, что этот оператор порождает сдвиг переменной от на один полный цикл, так что такой пропагатор просто выражает тот факт, что при движении замкнутой струны нужно интегрировать по одному полному циклу. Амплитуда замкнутой струны поэтому не зависит от выбора начала отсчета параметра ст. (Это ограничение будет иметь важные последствия при обсуждении компактификации замкнутой и гетеротической струн в последующих главах.)

На рис. 2.9 мы видим, что мировая поверхность первоначально представляет собой горизонтальную полосу в комплексной плоскости шириной которой верхняя и нижняя горизонтальные границы отождествлены (она образует длинную горизонтальную трубку). Внешние тахионные линии могут входить в эту трубку изнутри. Мы видим также, что экспоненциальным преобразованием этих координат можно отобразить такую горизонтальную трубку на всю комплексную плоскость.

Как и прежде, вертексная функция снова дается выражением где струна X определена в той точке комплексной плоскости, в которой входит внешний импульс. Поскольку два набора гармонических осцилляторов коммутируют, то вертексная функция превращается в произведение двух вертексных функций открытой струны. Окончательное выражение для -точечной амплитуды рассеяния тахионов дается формулой [22, 23]

Суммирование по всем возможным перестановкам порядка внешних линий гарантирует, что переменные могут свободно блуждать по комплексной плоскости.