§ 6.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Теперь мы обратимся к вопросу о взаимодействиях. Оказывается, что выделение вершинной функции во вторично квантованной полевой теории можно проделать, обобщая вывод свободного действия из первично квантованного формализма. Для этого мы вновь подставим важное тождество

в континуальный интеграл.

Исторически вопрос о нелокальных полевых теориях рассматривался еще первооткрывателями квантовой физики Гейзенбергом и Юкавой. Они обнаружили, что такие теории нарушают причинность, т. е. взаимодействия могут распространяться быстрее скорости света. Нелокальные взаимодейстия, затрагивающие две отдаленные точки могут передавать информацию быстрее скорости света, что запрещается.

Полевая теория струн чудесным образом решает эту проблему. Решение просто и элегантно: полевая теория струн не нарушает причинность, поскольку она на самом деле не нелокальная, а мультилокальная теория. Взаимодействия струн, в которых струны могут распадаться и образовываться, таковы, что эти процессы происходят мгновенно, а затем колебания распространяются по струне со скоростью, равно или меньшей скорости света. Таким образом, нарушения принципа причинности не происходит.

Удаление всех симметрий в калибровке светового конуса приводит к отсутствию какого-либо общего руководящего принципа для построения теории. Поэтому мы просто постулируем следующее:

В действии допускаются только такие конфигурации взаимодейсгп У ющих струн, которые мгновенно изменяют локальную топологию струны

Рис. 6.2. Пять взаимодействий полевой теории в калибровке светового конуса. Опрытые и замкнутые струны могут разрываться, расщепляться и делиться. Отметим, что взаимодействия каждого типа происходят на струне локально. В этом - решение проблемы причинности, которая нарушается во всех нелокальных теориях точечных частиц. Таким образом, струнная полевая теория является единственной известной полевой теорией, основанной на протяженных объектах, которая сохраняет причинность.

Хотя этот принцип определен только в калибровке светового конуса, мы найдем, что его вполне достаточно для нахождения всех возможных взаимодействий полевой теории. Имеется только пять таких локальных взаимодействий (см. рис. 6.2), согласующихся с этим новым определением локальности, а также с законом сохранения импульса. (Выберем параметризационную длину струны в калибровке светового конуса пропорциональной и тогда сохранение импульса означает, что сохраняется сумма длин всех струн). Итак, мы постулируем

где каждый член соответствует специальным взаимодействиям поля открытой струны Ф и поля замкнутой струны Образно говоря, эти пять взаимодействий можно представить в виде

выпишем в явном виде некоторые из этих взаимодействий, согласующихся с условием локальности. После того как специальные предявления для этих пяти взаимодействий будут выписаны, мы должны Верить, что они воспроизводят известные результаты для первично квантованной теории, фостейшее взаимодействие представляет собой распад струны на Меньшие части. В соответствии с условием локальности ее разрыв

может произойти только в одной внутренней точке. Последствия этого разрыва должны распространяться по струне позже, со скоростью равной или меньшей скорости света. Таким образом, мы приходим к требованию, чтобы струнная конфигурация до взаимодействия непрерывным образом примыкала к струнной конфигурации после взаимодействия; иными словами, точки струны были бы «непрерывны» через границу взаимодействия. Единственной формой вершинной функции согласующейся с сохранением импульса и локальностью, является произведение дираковских дельта-функций, которое обеспечивает непрерывность трех струн. Наша вершина есть [1]

где

(см. рис. 6.3). Мы будем использовать обозначения

где параметризационная длина каждой струны дается а переменная X представляет только трансверсальные моды струны.

Замечательно, что в написанной выше вершинной функции мы действительно можем выполнить интегрирование по потому что это просто гауссов интеграл. Определим

Рис. 6.3. Параметризация трехструнной вершины. Параметризационная длина каждой струны равна Сумма всех трех равна нулю.

Тогдаа (6.4.4) можно переписать в виде

где мы ввели вершинную функцию

Так как вектор в (6.3.11) имеет простую гауссовскую зависимость от мы можем вычислить интеграл по в явном виде и получить точную формулу для вершинной функции, записанную через гармонические осцилляторы.

Более удобно выполнить эти вычисления в импульсном представлении. Беря фурье-преобразование, мы легко превращаем формулу (6.3.11) для собственных состояний X в формулу для собственных состояний Р:

Мы легко проверяем, что это выражение правильно воспроизводит уравнение на собственные значения (2.2.9):

Выпишем фурье-разложения для всех трех струнных состояний в вершине в X- и Р-представлениях:

где

Интеграл, который нам бы хотелось взять, имеет вид

Это гауссов интеграл. Единственная сложность, с которой мы столкнемся, - это явная форма дельта-функционала в (6.4.5), записанная через гармонические осцилляторы. Для выполнения функционального интегрирования выделим фурье-коэффициенты функционала с помощью

косинус-преобразования уравнения связи для различных Р. Обычно такое фурье-преобразование синуса или косинуса представляет собой дельта-функцию. Здесь из-за различной параметризационной длины всех трех струн вместо дельта-функций мы получаем матричные уравнения В частности, условие

после выполнения косинус-преобразования принимает вид

где А и В - различные интегралы от произведения косинусов.

Вместо того чтобы рассматривать (6.4.16) как точное операторное уравнение, достаточно потребовать его выполнения только на вершинной функции. Другими словами, мы хотим, чтобы вершинная функция обращалась в нуль под действием Это означает, что [1, 6, 7]

где

Фурье-коэффициенты определяются фурье-преобразованием различных косинусоидальных гармоник. Так как все три струны имеют разные длины, фурье-коэффициенты будут, вообще говоря, нетривиальными. Явным построением получаем следующие фурье-коэффициенты:

где

Хотя выражения могут показаться сложными, непосредственное зачисление интеграла оказывается простым, поскольку он гауссов. Выполняя интегрирование, находим явную форму вершинной функции. Сначала мы берем тривиальный интеграл по Благодаря наличию дельта-функции, он становится комбинацией импульсов двух других струн. Тогда по получаем простые гауссовы интегралы. Объединяя члены, находим компактное выражение вершинной функции через гармонические осцилляторы [1, 6]:

где

и

Подведем итоги. Мы постулировали, что единственно возможные взаимодействия между струнами - это локальные взаимодействия, т. е. мгновенные локальные деформации топологии струны. Таким способом мы избежали проблем нарушения причинности, десятилетиями блокировавших попытки создания нелокальных полевых теорий. Как ни странно, одного этого принципа оказывается достаточно для определения всех пяти струнных взаимодействий в калибровке светового конуса.

Отметим, что все матрицы Неймана единственным образом определится из условия перекрытия струн (6.14.15). Условия локальности и сохранения импульса достаточно для того, чтобы построить точное осцилляторное представление вершины.

Далее мы хотим проверить, что такой подход воспроизводит обычную формулу Венециано. Для этого нужно убедиться в следующем:

(1) Нужно показать, что мы воспроизводим функцию Неймана для модели Венециано.

(2) Нужно показать, что якобиан преобразования координат от струнной конфигурации к обычной верхней полуплоскости переменной оказывается правильным.

Сейчас мы получим обычные струнные амплитуды, демонстрируя тем самым эквивалентность первично и вторично квантованных теорий со взаимодействиями на уровне теории возмущений.