§ 5.5. ОДНОПЕТЛЕВЫЕ ДИАГРАММЫ ЗАМКНУТЫХ СТРУН

Вычисление однопетлевых амплитуд замкнутых бозонных струн также проводится непосредственно. Подчеркнем лишь различия.

(1) Мировая поверхность струны, которая для случая открытой струны была топологически эквивалентна верхней полуплоскости, тепер превращается в полную комплексную плоскость.

Рис. 5.8. Конформная поверхность для однопетлевой диаграммы замкнутой струны. В плоскости поверхность является прямоугольником с шириной и с произвольной длиной, противолежащие стороны которого отождествлены. В плоскости эта поверхность соответствует тору. Внешние линии могут прикрепляться к любой точке внутри поверхности.

(2) Пропагатор должен содержать интегрирование по от, чтобы он был независим от положения начала координат в -пространстве.

(3) Мы должны просуммировать по различным упорядочениям вершинных функций.

(4) Внешние линии, которые были прежде прикрепленными к границе полосы, теперь прикрепляются к внутренним точкам комплексной поверхности.

На рис. 5.8 показана горизонтальная полоса, простирающаяся от а 0 до верхний и нижний края которой отождествлены. Чтобы получихь однопетлевую диаграмму, мы должны теперь отождествить и правый края полосы. Экспоненциальное отображение тогда переводит конечную горизонтальную полосу во всю комплексную плоскость.

При помощи обычных методов когерентных состояний находим [20] (взяв угол наклона

где

и

Перепишем это в виде

где

Заметим, что подитнтегральное выражение - дважды периодическая функция:

Это легко увидеть, потому что функция обладает следующими свойствами:

Это важно, так как показывает, что прямое интегрирование по переменным привело бы к многократному повторному засчету подлинной области интегрирования. Рассмотрим параллелограмм, образованный началом координат и точками После отождествления противоположных сторон он становится топологически эквивалентным тору. Заметим, что двойная периодичность разбивает комплексную плоскость на бесконечное число таких параллелограммов. Поэтому мы хотим интегрировать только по одному параллелограмму, иначе одна и та же область будет засчитана бесконечно много раз. Стало быть, для фиксированного необходимо ограничить интегрирование по переменным V,- чтобы не интегрировать по бесконечному множеству копий.

одного и того же объекта. Выберем следующее ограничение:

как ни странно, кроме этого ограничения в пространстве нужно ввести еще одно ограничение в пространстве Подынтегральное выражение для однопетлевой диаграммы замкнутой струны в действительности инвариантно относительно еще одного преобразования, даваемого формулой

где Это преобразование порождает так называемую модулярную группу Шмтм; Покажем, что наш интегралинвариантен относительно этого преобразования

Следовательно, относительно этого модулярного преобразования инвариантны величины

Теперь вычислим, как преобразуются модулярным отображением другие члены:

Итак,

Наконец, имеем также

Итак,

Поэтому подынтегральное выражение инвариантно относительно модулярного преобразования, что впервые было указано Шапиро. Но каков наглядный смысл этой симметрии?

Из действия Полякова следует, что мы должны интегрировать по всем конформно неэквивалентным поверхностям. Сначала мы видим, что два параллелограмма с различными значениями конформно неэквивалентны после отождествления противоположных сторон.

Поэтому мы простодушно ожидаем, что интегрирование по автоматически даст нам интеграл по всем конформно неэквивалентным поверхностям. Однако в действительности это не так.

На самом деле существуют два типа репараметризации поверхности, которые необходимо тщательно различать. К первому типу относятся такие репараметризации, которые можно гладким образом вернуть к тождественному отображению, т. е. множество гладких репараметразаций, содержащее тождественное преобразование. Ко второму типу относятся репараметризации, которые невозможно гладко перевести обратно к тождественному преобразованию. Глобальные диффеоморфизмы именно таковы. Возьмем, к примеру, один параллелограмм и отождествим лишь одну пару противоположных его краев. У нас получится трубка. Обычно мы свели бы друг с другом ее концы, чтобы получить тор. Теперь, однако, закрутим один из ее концов на прежде чем склеить их. Изучив эту поверхность, видим, что эта процедура порождает настоящую репараметризацию поверхности, но этим способом нельзя представить тождественное преобразование. Такое кручение («твист») называется твистом Дена, и он порождает некую дискретную группу. Можно показать, что для тора группа, порожденная твистами Дена, есть модулярная группа

Конкретизируя, мы видели, что интеграл инвариантен относительно преобразований Можно показать, что последовательное применение этих двух преобразований порождает всю модулярную группу. Но тщательное рассмотрение действия этих преобразований показывает, что они просто меняют местами части границы параллелограмма, порождая твисты Дена.

Итак, эта вторая симметрия, называемая модулярной инвариантностью, возникает в силу того факта, что мы должны фиксировать калибровкой не только репараметризации, гладко сводимые к тождественному преобразованию, но и глобальные диффеоморфизмы, не связанные с последним. Поэтому мы должны разбить комплексную -плоскость таким образом, чтобы можно было интегрировать только по одной поверхности, инвариантной относительно преобразований . Тем самым комплексная -плоскость разбивается на бесконечное число лишних копий. Чтобы устранить этот бесконечный повторный счет, выберем следующую фундаментальную область интегрирования (см. рис. 5.9):

Мы вскоре убедимся, что эта модулярная инвариантность является вероятно, одним из самых мощных инструментов, которыми мы располагаем, для проверки непротиворечивости новых струнных компактификаций.

Рис. 5.9. Фундаментальная область для однопетлевой амплитуды замкнутых струн. Модулярная инвариантность амплитуды разбивает комплексную плоскость на бесконечное число эквивалентных областей. Поэтому мы должны выбрать только одну такую область, в противном случае амплитуда будет бесконечной. Наиболее удобная область лежит между прямыми причем

Как мы уже сказали, модулярное преобразование осуществляет твист Дена, т. е. перетасовку граничных условий для параллелограмма. Например, если у нас имеется струна, определенная на параллелограмме, маркированном то модулярное преобразование заменит граничные условия согласно формуле

В частности, можно проверить, что преобразования заменяют граничные условия следующим образом:

Теперь проанализируем структуру расходимостей амплитуды замкнутой струны. Сначала заметим, что

при Как и ожидалось, амплитуда имеет полюсы в тех точках, которых внешние линии совпадают. Они встречаются при Эту расходимость можно считать происходящей из диаграммы ергии самодействия на внешней линии, которая, к сожалению, оказалась лежащей на массовой поверхности.

Теперь обобщим это вычисление на суперструны типа II; его легко провести тем же методом. Все вершины имеют вид

где все V соответствуют вершинам открытой струны (с половинным

импульсом) для двух наборов осцилляторов. Снова вклады двух- и трех точечных петель обращаются в нуль, так как след берется по модам Этот след можно вычислить точно так же, как и в случае открыт струн, но теперь осцилляторов вдвое больше. Результат для амплитуд рассеяния бозонов дается формулой

где

Заметим, что фактор теперь отсутствует и степень, с которой входит изменилась. Замечательный факт состоит в том, что эта амплитуда вполне конечна! Это объясняется несколькими причинами, перечисленными ниже.

(1) Отсутствие двух- и трехточечных амплитуд делает невозможным помещение головастиков или вставок энергии самодействия на внешних линиях. Поэтому не будет полюсов, которые были обнаружены ранее для замкнутых бозонных струн.

(2) Можно уменьшить расходимость диаграммы, выбирая фундаментальную область интегрирования, свободную от расходимостей.

(3) Нет вкладов от тахионов, исчезающих в вакуум, поскольку нет тахионов.

(4) Фермионные внутренние линии сокращаются с бозонными внутренними линиями, что уменьшает расходимость диаграммы.