Часть II. ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И ПОИСКИ ГЕОМЕТРИИ

Глава 6. ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ В КАЛИБРОВКЕ СВЕТОВОГО КОНУСА

§ 6.1. ПОЧЕМУ ПОЛЕВАЯ ТЕОРИЯ СТРУН?

В части I мы неоднократно видели, что первично квантованная теория представляется довольно разобщенной и является набором правил, которые часто выглядят очень произвольными. Выбор вершинных функций, меры интегрирования, счет диаграмм и т. д. - все это было, по существу, введено в теорию «руками». В итоге первично квантованная теория страдает следующими явными недостатками:

(1) Взаимодействия должны быть введены без какого-либо строгого общего обоснования.

(2) Нелегко показать унитарность теории. Не существует эрмитова гамильтониана, из которого можно вывести теорию взаимодействий.

(3) Теория формулируется в рамках теории возмущений и дает ответы только на «массовой поверхности», что делает затруднительным вычисление непертурбативных эффектов.

Однако самое важное заключается в том, что первично квантованная струнная теория не подходит для вычисления динамического нарушения симметрии. К сожалению, во всех порядках теории возмущений по константе связи размерность пространства-времени, по-видимому, является стабильной, а поэтому надежды, связанные с возможностью динамического нарушения симметрии от 26-мерного или 10-мерного пространства-времени к четырехмерному, очень малы. Таким образом» последовательное получение феноменологических следствий в рамках первично квантованного подхода представляется весьма сомнительным-Первично квантованная теория не может также выделить истинный вакуум среди набора классических вакуумов, допустимых для модели, несмотря на то, что она фактически способна воспроизвести десятки тысяч классических решений.

Таким образом, в части II мы обращаемся к полевой теории струн [1-5] как наиболее перспективной с точки зрения построения непертурбативного формализма, который позволит обнаружить истинный вакуум.

На первый взгляд метод вторичного квантования кажется совершенно излишним при наличии первично квантованного подхода. С точки

зрения теории возмущений мы просто воспроизводим те же диаграммы, при первичном квантовании. Однако вторично квантованная долевая теория обладает несколькими важными преимуществами:

(1) Взаимодействия вводятся через новую калибровочную группу, т. е. имеется теоретико-групповое обоснование для введения взаимодействия в струнную теорию.

(2) Теория явно унитарна благодаря эрмитовости гамильтониана. Все веса диаграмм фиксируются с самого начала.

(3) И наконец, мы в принципе имеем метод для вычисления динамических эффектов в теории.

Некоторое время были серьезные опасения, что полевая теория струн не имеет права на существование как противоречащая фундаментальным принципам квантовой механики. Аргументы сводились в основном к следующим:

(1) Полевая теория струн как нелокальная теория должна была бы изобиловать непреодолимыми трудностями, такими, как нарушение принципа причинности.

(2) Полевая теория струн с необходимостью формулируется вне «массовой поверхности», в то время как важнейшие свойства модели Венециано, вроде циклической симметрии, справедливы только на массовой поверхности. Поэтому казалось, что полевая теория не способна воспроизвести дуальную модель.

(3) Полевая теория не могла бы быть одновременно лоренц-инвариантной и унитарной, поскольку процедура квантования, которая обеспечила бы как лоренц-инвариантность, так и унитарность вне массовой поверхности, отсутствует. Для первично квантованной теории такой проблемы не возникает, так как эта теория формулируется на «массовой поверхности». Напротив, полевая теория струн представляет собой теорию вне массовой поверхности и, следовательно, Должна нарушать либо лоренц-инвариантность, либо унитарность.

(4) И, наконец, самое важное. Полевая теория струн страдала бы от нарушений унитарности, вызванных двойным счетом диаграмм. В полевых теориях суммы по и -полюсам вычисляются раздельно, что нарушает дуальность.

К счастью, полевая теория струн, отвечающая на каждое из этих четырех возражений, на самом деле возможна.

Во-первых, полевая теория струн не нарушает принцип причинности, потому что взаимодействия, такие как распад струны, происходит мгновенно. Кроме того, информация, касающаяся топологии струны, распространяется вдоль нее со скоростью, не превышающей скорости Другими словами, струнная теория мультилокальна. Таким образом, полевая теория струн является единственной известной нелокальной полевой теорией, согласующейся с принципами квантовой механики.

Во-вторых, полевая теория струн приводит к функциям Грина, которые обязательно нарушают некоторые важные свойства модели

Венециано. Но это несущественно, так как любой матричный элемен может быть измерен только на массовой поверхности, а на ней эти функции Грина правильно воспроизводят модель Венециано.

В-третьих, BRST-метод явно разрушает унитарность теории с духами Фаддеева-Попова вне массовой поверхности. Это, однако, не имеет значения, потому что на массовой поверхности духи Фаддеева-Попова сокращаются с унитарными духами. Подобная ситуация имеет место в формализме светового конуса, который вне массовой поверхности сохраняет унитарность, но нарушает лоренц-инвариантность. На массовой поверхности такая теория как лоренц-инвариантна, так и унитарна а поэтому вполне корректна.

Что касается четвертого возражения, то струнная теория действительно нарушает дуальность вне массовой поверхности, однако на массовой поверхности дуальность восстанавливается. Например, для полевой теории струн в калибровке светового конуса мы суммируем раздельно по и -канальным полюсам фейнмановский ряд

Такое разбиение амплитуды рассеяния на две отдельные и -канальные части, согласующиеся со струнной интерпретацией (см. рис. 6.1), решает проблему унитарности. При этом явная дуальность оказывается нарушенной. Восстанавливается она только на уровне -матрицы, т. е. после суммирования по всем фейнмановским диаграммам. Такой подход обеспечивает унитарность струнной полевой теории ценой нарушения ее явной дуальности.

Рис. 6.1. Поверхности полевой теории в калибровке светового конуса, и в любой теории поля, мы сейчас суммируем по и -канальным график раздельно, нарушая дуальность. Только сумма этих двух графов является дуальной. Следовательно, полевая теория струн в калибровке светового конуса решает проблему «двойного учета»: для каждой диаграммы дуальность нарушается. Дуальна только сумма (-матрица).

Для замкнутых струн мы также обнаруживаем, что индивидуальные фейнмановские диаграммы нарушают явную модулярную инвариантность. Модулярно-инвариантной оказывается только их сумма. Таким образом, полевая теория в калибровке светового конуса явно унитарна потому что гамильтониан явно эрмитов), но цена, которую мы платим за это, есть отсутствие явной модулярной инвариантности:

Мы начнем обсуждение вторичного квантования, отправлясь от формализма светового конуса [1], так как этот формализм разработан даиболее плотно. К тому же это позволит проследить историческое развитие теории. Однако так как в данном подходе калибровка фиксирована и все локальные калибровочные степени свободы полностью устранены, то в нем нет и следа от элегантного теоретико-группового формализма, из которого можно было бы вывести струнную теорию. Начиная в педагогических целях изложение с полевой теории в калибровке светового конуса, мы будем помнить о том, что только точная геометрическая теория, подобная предложенной в гл. 8, может вывести всю теорию целиком из основных постулатов.

Мы вновь начнем с полевой теории точечных частиц и проследим, как Фейнман вывел уравнение Шрёдингера из первично квантованной теории.