§ 5.11. ПРОСТРАНСТВА МОДУЛЕЙ И ГРАССМАНИАНЫ

Хотя в прояснении математической структуры многопетлевых амплитуд был достигнут огромный прогрес, в некотором смысле ощутимые результаты разочаровывают. Уже в 1970 г. было известно, что расходимости многопетлевой амплитуды, как показывают прямые вычисления, соответствуют деформациям топологии некой римановой поверх ности [4, 5]. Сложные математические методы, введенные нами, по что не дали ответов на ключевые вопросы: можно ли строго показать»

что теория остается конечной во всех порядках теории возмущений? Если да, то как суммировать соответствующие ряды? Как вычленить из этой теории непертурбативную информацию? Знание того, что расходимости теории могут быть выражены через дзета-функцию Зельберга [23, 29-32], - это хотя и важный результат, но он все же не решает указанных загадок. В итоге прогресс достигнут скорее в области математики, а не физики.

Начиная с этого места, можно продвигаться в одном из двух расходящихся направлений. Можно оставить в покое ряды теории возмущений и непосредственно приступить к построению полевой теории струп, в рамках которой можно было бы получить непертурбативную информацию. Этот традиционный подход, принятый в обычной теории точечных частиц, будет развит в нескольких последующих главах. Другой путь - попробовать найти некоторую симметрию, вроде модулярной инвариантности, которая могла бы позволить оперировать всей суммой по всем римановым поверхностям произвольного рода.

В случае обычных фейнмановских диаграмм для точечных частиц вторая из этих стратегий, по-видимому, невозможна. Симметрий здесь слишком мало, и к тому же фейнмановские диаграммы - это графы, а не многообразия. В случае же теории струн фейнмановские ряды суммируются по многообразиям, а именно по римановым поверхностям, для которых модулярная инвариантность играет ключевую роль. Поэтому допустимо предполагать, что весь ряд теории возмущений может оказаться математически постижимым объектом. Этот подход защищают Фридэн и Шенкер [33], которые предложили изучать свойства «универсального пространства модулей» всех римановых поверхностей, включая поверхности бесконечного рода.

Вплоть до недавнего времени эта программа была слишком амбициозной и сложной, чтобы дать значимые результаты. Однако два Достижения последних лет придали ей дополнительный импульс:

0) Во-первых, Белявин и Книжник [34] недавно показали, что мера многопетлевой бозонной амплитуды - это просто абсолютное значение некоторой -формы. Это называется «голоморфной факторизацией». В принципе, она может позволить выписать многопетлевую меру простым рассмотрением полученного выражения! На практике, однако, существуют определенные трудности в задании параметризации матрицы периодов при числе петель свыше трех. Это называется проблемой Шоттки. Голоморфная факторизация сделала вычисления меры для двух- и трехпетлевых амплитуд почти тривиальным, но проблема Шоттки затрудняет выписывание многопетлевой меры.

0) Во-вторых, в 1984 г. математики наконец решили проблему Шоттки. Тем самым главное препятствие для применения голоморфной Факторизации, по-видимому, устранено. Кроме того, решение проблемы Шоттки дает нам даже еще более мощный инструмент. Оно Позволяет описать некое бесконечномерное пространство, названное

грассманианом в котором все римановы поверхности рассматриваются как отдельные точки [35-37]. Тем самым изуи? ние свойств точек грассманиана может позволить манипулировать набором всех диаграмм теории возмущений как одним объектом.

(Хотя грассманиан, наконец, обеспечивает концептуальную схему трактовки всего ряда теории возмущений как единого целого, мы по-прежнему не знаем, как суммировать этот ряд. Например, фазовое пространство сводит множество всех возможных положений и импульсов частицы к набору точек. Так, фазовое пространство, в принципе содержит все возможные движения всех возможных частиц во Вселенной. Однако это говорит все и не говорит ничего. Нам по-прежнему приходится налагать уравнения движения и граничные условия для извлечения любой значимой информации из фазового пространства. То же самое относится и к грассманиану.)

Для выполнения этой грандиозной программы необходимо в полной мере использовать модулярные преобразования римановых поверхностей рода д. Особенно важна группа классов отображений сводящаяся к модулярной группе для тора. Нам нужен способ изучения группы классов отображений для поверхностей произвольного рода. Ключем к нему послужит построение тэта-функций, определенных на римановых поверхностях произвольного рода. Этот подход отличается от метода Шоттки, который рассматривался в разд. 5.6: там модулярная инвариантность не была столь очевидна.

На рис. 5.12 были показаны а- и -циклы для произвольной замкнутой римановой поверхности, которые мы назвали каноническим гомологическим базисом. Пусть антисимметрический символ обозначает, пересекаются ли эти циклы или нет. Он равен 0, если они не пересекаются, и равен в противном случае. Рассмотрим к примеру тор, у которого есть только один я-цикл и один -цикл. Заметим, что равен 1, поскольку эти циклы пересекаются, но равен 0. Итак, четыре возможных комбинации для тора образуют следующую матрицу:

Элементы группы классов отображений не изменяют эту матрицу пересечений. Однако нам известно, что группа, относительно действия которой эта матрица инвариантна, есть (См. Приложение.) Для описания элементов группы рассмотрим твист Дена порожденный разрезом поверхности вдоль -цикла, поворотом разреза на и склеиванием поверхности заново. Под действием твиста Дена -цикл превращается в сумму а- и -цикла (см. рис. 5.13). Итак,

Представим теперь это на матричном языке. Пусть твист Дена действует на вектор-столбец Тогда твист Дена можно символически

представить как

Аналогично мы можем описать группу классов отображений для двухпетлевой поверхности, взяв твисты Дена вдоль циклов а также вдоль цикла а являющегося окружностью, окружающей оба отверстия. С помощью тех же рассуждений можно показать, что цдасты Дена, действующие на вектор-столбец могут быть дредставлены в следующем виде [38]:

Теперь рассмотрим замкнутую риманову поверхность произвольного рода. Ее матрица пересечений может быть представлена в виде

Это не что иное, как блочно-диагональная матрица, каждый блок которой имеет вид (5.1.11). Группа, сохраняющая эту матрицу неизменной, есть Поэтому можно было бы подумать, что группа классов отображений совпадает с группой Это не совсем так. Существуют также твисты Дена вокруг циклов, которые гомологически тривиальны и не преобразуют ни ни -циклов. Поэтому они представляются в используемом нами базисе единичной матрицей. Тем не менее эти твисты Дена являются законными глобальными диффеоморфизмами, которые должны быть включены в группу классов отображений. Эта подгруппа называется группой Торелли Т, и, следовательно, мы получаем окончательно желаемый результат:

(К счастью, действие группы Торелли на спиновые структуры тривиально, так что мы опускаем дальнейшее обсуждение этой темы.)

Далее мы намерены описать матрицу периодов для римановой поверхности и ее преобразования под действием В дополнение к циклам, которые мы можем найти для римановой поверхности, можем выписать для нее независимых гармонических -форм со и (см. Приложение). Поскольку число циклов совпадает с числом 1-форм (в силу теоремы Ходжа - де Рама), то мы всегда можем нормировать интегрирование по -циклам таким образом, чтобы

В общем случае интегрирование по -циклам даст квадратную матрицу размера

называемую матрицей периодов и обобщающую переменную введенную для однопетлевой амплитуды в (5.5.2); она совпадает с матрицей периодов, введенной в (5.6.31) для многопетлевой амплитуды. Весьма просто показывается, что матрица периодов симметрична и имеет положительно определенную мнимую часть. В общем случае элементов симметричной -матрицы (с положительно определенной мнимой частью) порождают пространство, называемое верхней полуплоскостью Зигеля.

Преимущество введения матрицы периодов состоит в том, что две неэквивалентные римановы поверхности могут иметь одну и ту же это называется теоремой Торелли. Поэтому с точностью до преобразований группы матрица периодов дает удобный способ охарактеризовать различные римановы поверхности. Под действием преобразований группы матрица периодов преобразуется как

где А, В, С, D суть симплектические -матрицы. Итак, две разные матрицы периодов могут описывать одну и ту же риманову поверхность, если они связаны преобразованием из группы

Теперь, когда мы располагаем математическим описанием группы классов отображений через группу определенную на твистах Дена, наша следующая задача - выписать функции, определенные на римановой поверхности с ручками. Выше мы показали, что однопетлевая амплитуда описывается через квазидваждыпериодическую тэта функцию Теперь мы намерены выписать обобщенные тэта-функций обладающие определенными свойствами периодичности и заданные поверхности с ручками.

Если взять однопетлевую тэта-функцию и потребовать, чтобы обладала этими свойствами периодичности на римановой поверхности с 0 ручками, мы естественным образом добавляем дополнительный набор бесконечных членов к суммированию. В конечном счете эта сумма

Рис. 5.14. Канонические гомологические циклы римановой поверхности рода 2. Чтобы получить эту фигуру, нужно нарисовать на сфере с двумя ручками или даумя дырками гомологические циклы сделать разрезы по линиям, образующим циклы, а затем развернуть поверхность на плоскость. Преимущество такого базиса состоит в том, что гомологические циклы поверхности произвольного рода можно представить в виде многоугольника.

принимает вид [39, 40]

где суммирование по вектору производится на -мерной решетке. Тэта-функция определяется не на плоскости комплексной переменной а на акторах определенных выражением

где произвольная точка нашей поверхности. Поскольку у со имеется компонент то также является вектором с компонентами .

Тэта-функции со спиновыми структурами тоже могут быть построены. В случае тора мы убедились, что в результате параллельного перноса спинора вдоль прямоугольного контура он приобретал фазу, равную или —1, в зависимости от того, был ли он периодическим антипериодическим. Подобным образом, риманова поверхность рода может быть представлена многоугольником с сторонами (рис. 5.14). Для описания параллельного переноса спинора вдоль периметра этого многоугольника разными способами теперь потребуется фаз. набор характеристик определяет спиновую структуру этого многообразия.

Теперь можно определить обобщенную тэта-функцию со спиновой

структурой:

Оказывается, что эта функция периодична с точностью до фазы при сдвиге по решетке:

При замене тэта-функция преобразуется по формуле

Поэтому, как мы это сделали для однопетлевой функции в (5.9.7), спиновые структуры можно разбить на четные и нечетные в зависимости от их поведения при замене Оказывается, что на римановой поверхности рода имеется 291 (29 — 1) нечетных и четных спиновых структур.

Теперь можно непосредственно вычислить, как эти обобщенные тэта-функции преобразуются отображением (5.11.9) из группы классов отображений. Под действием как нетрудно убедиться,

где

а фазовый множитель дается формулой

Здесь Т обозначает транспонирование, а взятие диагонального элемента. Символ обозначает корень восьмой степени из единицы (с одним ограничением, которое здесь несущественно).

После того как мы определили на римановой поверхности тэта-функции с требуемыми свойствами периодичности, следующая задача состоит в том, чтобы действительно найти меру для многопетлевои амплитуды. В этом нам очень поможет замечательный результат Белявина и Книжника [34], состоящий в том, что мерой многопетлев амплитуды служит просто квадрат некоторой голоморфной функций точностью до нулевых мод):

Здесь - фундаментальная область римановой поверхности,

В последнем выражении представляет некоторую параметризацию параметров Тейхмюллера, - голоморфная функция, не имеющая нулей и имеющая полюсы второго порядка в точках границы, в которых поверхность вырождается. Легко проверить, например, что однопетлевая функция (5.5.4) обладает этими свойствами (с точностью до членов, отвечающих нулевым модам).

На однопетлевом уровне утверждение о голоморфной факторизации фггуитивно очевидно. Оно просто означает, что замкнутая петля является произведением мод струны, движущихся налево и направо, если пренебречь нулевыми модами. Однако доказательство этого мощного результата довольно сложно, хотя его можно вкратце изложить следующим образом. Использование методов, выведенных в предыдущих разделах, показывает, как формально записать меру многопетлевой амплитуды через параметры Тейхмюллера и сложные детерминанты. Затем можно показать, что

где - мера с точностью до множителя, возведенная в 13-ю степень. Заметим, что правая часть - это конформная аномалия, которая обращается в нуль в 26-мерии. Поэтому в 26-мерном пространстве а в этом случае мера может быть записана как абсолютное значение некоторой голоморфной функции При любой другой размерности существует препятствие для голоморфной факторизации. Тогда мы будем говорить, что имеется аналитическая аномалия.

Замечателен тот факт, что условия, налагаемые на по-видимому, Достаточно сильны, чтобы однозначно фиксировать меру для всех многопетлевых амплитуд [41-61]. Этот результат необычайно мощный, и он может позволить нам выписать меру многопетлевой амплитуды непосредственным рассмотрением соответствующих выражений.

Например, рассмотрим двухпетлевую функцию. Выберем в качестве Параметров Тейхмюллера саму матрицу периодов, поскольку она также определяется тремя независимыми комплексными переменными. Тогда модулярной инвариантностью обладает следующая комбинация:

Нам нужно найти выражение для Используя результаты из теории римановых поверхностей, находим, что единственно возможный ответ дается выражением

Произведение берется по 10 четным характеристикам, таким что

Подобным образом, используя аналогичные рассуждения о голоморфных функциях, можно представить функцию для трехпетлевой амплитуды в виде

Здесь снова в качестве параметров Тейхмюллера взяты элементы матрицы периодов

Эта простая процедура, однако, внезапно обрывается на уровне четырех петель. В общем случае симметричная матрица, определенная в верхней полуплоскости Зигеля, содержит элементов, тогда как число параметров Тейхмюллера равно Поэтому они содержат одинаковое число элементов лишь при что делает задание матрицы периодов для большего числа петель все более трудной задачей. Отсюда и возникает проблема Шоттки - из того факта, что набор элементов верхней полуплоскости Зигеля согласуется с набором элементов матрицы периодов лишь при Вопрос теперь ставится так: какие условия нужно наложить на наши функции, определенные на верхней полуплоскости Зигеля, чтобы они были функциями матрицы периодов?

К счастью, математикам недавно удалось решить проблему Шоттки, что сделало возможным просто задавать матрицы периодов для произвольного , следовательно, описывать голоморфные функции, определенные на римановых многообразиях произвольного рода. Фактически это позволяет нам представить себе бесконечномерное пространство, называемое грассманианом, в котором римановы поверхности произвольного рода представляются точками.

То, что мы хотим получить, - это некое обобщение операторного формализма конформной теории поля, которое было бы определено на римановом многообразии произвольного рода. Нам нужно построить операторы, действующие на порождающую функцию [35-37], которые позволили бы нам вывести все корреляционные функции, определеннные на поверхностях рода д. Начнем с определения фермионных операторов

с обычными антикоммутационными соотношениями

и билокального тока

Оператор тока - это диагональный элемент

Теперь определим порождающую функцию

где

а есть элемент группы Клиффорда, задаваемый формулой

где интеграл берется по окружности бесконечного радиуса. Важно знать, что функция зависит и от матрицы периодов и от спиновой структуры, определенной на поверхности и параметризованной характеристиками Таким образом, вся информация, связанная с природой римановой поверхности, содержится в функции д.

Из теории обычных континуальных интегралов для точечных частиц известно, что действие оператора на генератор функции Грина порождает вставку некого поля в функциональный интеграл. Аналогом этого служит вершинный оператор

где обладают теми же коммутационными соотношениями, что и обычные гармонические осцилляторы. По построению мы имеем тождество

Таким образом, действие вершинного оператора состоит в порождении корреляционной функции для конформной теории поля, подобно действию оператора на порождающую функцию в обычной теории поля. Теперь наложим условия, называемые уравнениями Хироты:

Можно показать, что уравнения Хироты тесно связаны с уравнениями иерархии Кадомцева-Петвиашвили

Теперь у нас есть все необходимое, чтобы выписать явное выражение для [35-37]:

где коэффициенты разложения матрицы периодов в степенной ряд

а

Здесь называется «первой формой» и является непосредственным обобщением функции из конформной теории поля для сферы. Фактически для близких к она ведет себя как даже на поверхности рода д. В явном виде она выражается формулой

где

Теперь мы приходим к основному результату настоящего обсуждения. Мы нашли, что функция удовлетворяет уравнениям Хироты для иерархии тогда и только тогда, когда действительно является матрицей периодов римановой поверхности рода д. Это именно то ограничение, которое мы искали. Функция имевшая размерность теперь может быть ограничена размерностью и приравнена к матрице периодов римановой поверхности рода д. Это в принципе решает проблему Шоттки (хотя результат сильно нелинеен).

В качестве дополнительного преимущества, поскольку можно рассматривать как порождающую функцию для конформной теории поля, определенную на римановой поверхности рода мы можем вычислять любые корреляционные функции. Матричный элемент для двух фермионов на этой римановой поверхности дается выражением

Математикам оно известно как ядро Сегё, и оно является единственным мероморфным полудифференциалом по переменным и с одиночным полюсом, вычет в котором равен 1 при Физики называют его просто двухточечной функцией. N-точечное обобщение этой функции есть

Существует способ проверки согласованности этих уравнений. Известно, 20 есть два способа вычисления -точечной функции: или через фермионные осцилляторы, или посредством бозонизации через бозонные осцилляторы вида Например, применяя виковское разложение к -точечной функции, можно записать ее через двухточечную в виде

выражение (5.11.40) можно получить с помощью бозонного представления, тогда как помощью фермионного. К счастью, эквивалентность этих двух разных выражений была доказана Фэем [39]; это называется теоремой трисекции для сложения тэта-функций. Математическая эквивалентность указанных выражений служит еще одной проверкой нашей процедуры бозонизации.

Итак, нами развит операторный формализм для конформной теории поля, определенной на произвольной римановой поверхности. Кет-вектор представляет конкретную риманову поверхность, а применение к нему разных полевых операторов соответствует взятию матричных элементов по этой поверхности. Важно заметить, что каждый элемент если он удовлетворяет условию Хироты для иерархии теперь корректно характеризует некую риманову поверхность рода д. Тем самым каждый определяет некоторую точку нашего грассманова многообразия, чего мы и стремились добиться.

Заметим, что мы все еще очень далеки от нашей конечной цели, т. е. от суммирования ряда теории возмущений и извлечения из него непертурбативной информации. Однако мы сделали существенный шаг в этом направлении, так как теперь мы можем описать любую риманову поверхность произвольного рода, включая ее спиновую структуру, как некую точку грассманова многообразия. Посредством этого операторного формализма мы можем по желанию порождать точки этого грассманова многообразия. Будущее покажет, насколько полезным окажется грассманово многообразие.

Необходимо, однако, отметить некоторые трудности, связанные с этим формализмом. Хотя проблема Шоттки теперь формально решена» на практике уравнения Хироты довольно сильно нелинейны, так что бается конкретно разобраться, насколько полезным будет это решение для явного построения многопетлевых амплитуд с помощью тэта-функций. Кроме того, следует отметить, что в литературе имеется некоторая путаница в вопросе об определении пространства супермодулей для амплитуд суперструн. Хотя суперсимметричное обобщение теоремы Римана-Роха отвечает на вопрос о количестве имеющихся супермодулей, но по-прежнему остается нерешенной трудная проблема явного построения этих супермодулей посредством корректно определенной процедуры. Введение в теорию супермодулей и связанные с ними вопросы можно найти в [62].

В нескольких следующих главах будет обсуждаться другой подход к теории возмущений, отличный от использования грассманова

многообразия и не требующий какой-либо информации о роде поверхности Фактически в этом подходе единственно возможной аппроксимаций является весь ряд теории возмущений на римановых поверхностях. Этот подход есть полевая теория струн.

Прежде чем завершить эту главу, мы должны упомянуть, что из всех до сих пор обсуждавшихся многопетлевых формализмов только формализм светового конуса может быть естественным образом выведен из полевой теории струн. Поэтому мы интуитивно предполагаем, что построение фейнмановских диаграмм в конусных координатах посреди объединения вершинных функций в -матрицу должно дать некоторую «триангуляцию» пространства модулей. Этот результат, который был доказан в [63-64], никогда ранее не рассматривался математиками. (Вкратце, доказательство основано на построении некоторых интегралов на римановой поверхности рода и вычислении их периодов при обходе вдоль каждой петли или ручки. Тогда можно показать, что соответствующие периоды являются чисто мнимыми, что дает модулярно инвариантное описание этой поверхности.)

Для примера на рис. 5.15 показано, как параметризовать многопетлевую поверхность посредством конусных координат, причем представляют различные времена взаимодействия при расщеплении или слиянии струны, а 0,- «твисты» каждой струны на один полный оборот. Чтобы дополнить число параметров до требуемой для поверхности рода величины , нужно также проинтегрировать по экваториальной окружности каждого цилиндра. Итак, все параметров пространства модулей имеют естественную интерпретацию на языке физических

Рис. 5.15. На этом последнем рисунке показаны углы, длины и «времена», параметризующие поверхность в калибровке светового конуса. Эти параметр образуют пространство Тейхмюллера, и для параметризации каждой внутренней петли требуется шесть таких параметров. (Эти параметры автоматически дают покрытие фундаментальной модулярной области.)

параметров фейнмановской диаграммы. У формализма светового конуса есть несколько преимуществ перед описанными ранее формализмами, во-первых, нет необходимости обрезать область интегрирования, что было обязательным для модулярной инвариантности в случае метода Щоттки и метода постоянной кривизны. Во-вторых, он легко обоб-Ластся на случай произвольного числа петель (чего нельзя сказать про метод тэта-функций). В-третьих, он унитарен и основан на физических дсременных. И в-четвертых, он естественно выводится из полевой теории. Вместо того чтобы обсуждать его здесь, мы рассмотрим метод светового конуса в контексте полевой теории струн. Этой важной теме будет посвящен ряд последующих глав.