§ 4.4. СУПЕРКОНФОРМНЫЕ ДУХИ

Перепишем детерминант Фаддеева-Попова, возникающий при фиксации суперконформной калибровки, на языке конформных преобразований. С помощью (3.4.5) находим

и комплексно-сопряженные им выражения. Отсюда получаем детерминант Фаддеева-Попова

и комплексно-сопряженное выражение. На первый взгляд это выглядит очень похоже на детерминант (2.4.3), найденный ранее для струны Намбу-Гото, т.е. на детерминант операторов . Однако имеются несколько важных отличий. Гильбертово пространство, в котором действуют эти операторы, теперь уже другое. Если разложить детерминант по базисным состояниям, то окажется, что конформные веса изменились, преобразования тензоров под действием конформной группы стали другими, а статистика полей заменилась противоположной.

Если внести эти детерминанты в действие под знак экспоненты (см. (1.6.16)), получится духовое действие:

где

Последнем определении (3 и у суть коммутирующие операторы. Втегрируя по 0, получаем

где суть духовые поля, порождаемые фиксацией метрики калибровкой, а - духи, порождаемые фиксацией поля секторе или в секторе Суперконформные духи (связанные друг с другом коммутационными соотношениями) впервые появились в формуле (3.5.14) при квантовании ()-модели. Различие состоит в том, что теперь мы хотим подчеркнуть конформные свойства этих полей, т. е. их веса. Приведем сводку соответствующих весов:

Располагая действием (4.4.5), можно найти тензор энергии-импульса, который является суммой двух слагаемых:

Выписав в явном виде последнее выражение для духового слагаемого, имеем

Неудобно всякий раз выписывать поля , особенно когда выражения для бозонных и фермионных полей очень похожи. Поэтому мы примем систему обозначений, в которой можно описать все духовые поля сразу, присвоив им произвольный вес. Выпишем обобщенное духовое действие, в котором поля, обозначенные жирным шрифтом, будут представлять коммутирующие или антикоммутирующие духи:

Здесь по определению поле имеет произвольный вес X, а поле с имееет вес Напомним, что система антикоммутирующих духов имела вес а система коммутирующих духов имела вес Такое действие служит компактной формой записи выражения (4.4.5), не

теперь наше обсуждение обобщено на любые возможные конформные веса.

Исходя из этого обобщенного действия, легко выписать тензор энергии-импульса:

Возьмем разложения

где равно 0 для NS-сектора, а для R-сектора В этом представлении генераторы алгебры Вирасоро суть

Можно проверить, что такие генераторы порождают обычные коммутационные соотношения при любых X.

Кроме тензора энергии-импульса, из этого действия можно построить два других тока, BRST-ток и ток духового числа.

Согласно (1.9.12), BRST-ток является следствием того факта, что действие в исходной калибровке вместе с его духами Фаддеева-Попова обладает остаточной калибровочной симметрией, которая является нилыготентной (и потому не может быть использована для устранения каких-либо еще полей). С каждой калибровочной симметрией связан некоторый ток, так что BRST-ток можно вывести прямо из действия:

Согласно (1.9.12), BRST-заряд является суперинтегралом от BRST-тока:

Этот заряд можно разбить на три слагаемых:

Здесь

Тщательно проанализировав каждое слагаемое, можно показать, что их сумма нильпотентна:

В дополнение к BRST-току есть также -ток, называемый током духового числа. На первый взгляд можно ожидать, что поскольку духи появляются парами, то они должны сохранять некоторое квантовое число, подобно сохранению барионного числа. Однако, как ни удивительно, у духового тока есть поправочный член. Выпишем ток духового числа, который просто напросто билинеен по духовым полям:

где

(для фермионов) или (для бозонов). Теперь у нас имеются все тождества, необходимые для вычисления взаимодействия (на коротких расстояниях) между духовым током и тензором энергии-импульса:

где (Отметим, что присутствие этого фактора является аномалией.) Отсюда следует

Этот ток духового числа приписывает духовое число каждому из духовых полей. Он обладает необычными свойствами относительно операции комплексного сопряжения:

где

(Если бы в (4.4.24) отсутствовал член, содержащий то этот ток

обладал бы обычными свойствами преобразования при операции комплексного сопряжения.) Квантовые числа духовых полей следующие:

Вклад духов в аномалию равен Одно из необычных свойств этой структуры духов - существование бесконечного количества вакуумов, возникающих вследствие (4.4.23) и (4.4.24). Определим вакуумные состояния формулами

Нулевая компонента тока духового числа и действуют на эти состояния следующим образом:

В частности, последние тождества показывают, что ненулевыми являются лишь следующие матричные элементы:

Простейший способ продемонстрировать это - взять матричные элементы токов между разными вакуумными состояниями, причем каждьщ вакуум нумеруется числом

Все матричные элементы нулевые, кроме отвечающих условию

Все это очень странно. В обычной модели Венециано был только один-единственньш вакуум. Теперь же в духовом секторе моделей Неве-Шварца и Рамона, по-видимому, имеется бесконечное число вакуумных состояний, нумеруемых числом Существование бесконечного количества фермионных и бозонных вакуумных состояний Шляется одной из необычных черт конформной теории поля.

Это означает наличие аномалии духового числа. Проблема связана с Формулами (4.4.22) и (4.4.23), т. е. с тем фактом, что коммутационные соотношения тока духового числа с тензором энергии-импульса содержат аномалию. Аномальный член соответствует нарушению закона сохранения духового числа. Действительно, расходимость тока дается формулой т. е. двумерной плотностью кривизны. На самом деле первоисточник всех этих трудностей - формула (4.1.36), полученная при вычислении детерминанта Фаддеева-Попова

относительно и Тщательный анализ собственных значений этих операторов показывает необходимость устранения нулевых мод, в противном случае эти детерминанты становятся бессмысленными. При внесении этих детерминантов в действие посредством выражения через духи Фаддеева-Попова указанные нулевые моды соответствую? нетривиальным решениям уравнений . К сожалению, мы не можем подробно рассмотреть здесь эти нулевые моды, потому что для этого необходимы сведения, которые не будут обсуждаться ранее гл 9, где аномалии рассматриваются более детально. (Вкратце, эта аномалия связана с топологией римановой поверхности, заметаемой струной. Интегрируя уравнение неразрывности для тока духового числа можно воспользоваться теоремой Гаусса-Боне, чтобы показать, что где - число дырок или ручек замкнутой римановой поверхности. Затем применяется теорема Римана-Роха, утверждающая, что число нулевых мод духового поля с минус число нулевых мод поля равно Нулевые моды поля с соответствуют конформным векторам Киллинга, а нулевые моды поля соответствуют модулям. Этот результат полезен, поскольку из него получается, что число комплексных модулей для сферы с ручками равно что будет широко применяться в гл. 5. Из него также следует, что число супермодулей равно что трудно доказать другими способами.) Можно показать, что фермионные вакуумные состояния (для духов обычной бозонной струны Намбу-Гото) на самом деле являются эквивалентными, т. е., умножая фермионные вакуумные состояния на разные степени полей и с, можно получить другие вакуумные состояния. Поэтому разные вакуумы дают эквивалентные представления. Однако для бозонных вакуумных состояний (для духов -модели) дело обстоит иначе. Оказывается, что разные вакуумные состояния в этом случае неэквивалентны. Никакая комбинация степеней полей Р и у не может перевести один вакуум в другой.

В NS-секторе бозонные вакуумные состояния нумеруются целыми числами, тогда как в R-секторе они нумеруются полуцелыми числами. Вакуумные состояния, наиболее близкие к обычному определению вакуума (т. е. они аннигилируются всеми частями осцилляторов, отвечающим положительным частотам), суть

Они нормируются следующим образом:

Хотя появление бесконечного числа неэквивалентных вакуумных

состояний на первый взгляд кажется крахом теории, мы покажем ниже, что эхо дает вполне приемлемые результаты. В частности, мы покажем, что 0 массовой поверхности на самом деле безразлично, какой из различных вакуумов мы выберем. Для одного и того же физического процесса все матричные элементы на массовой поверхности дадут одни и те же числа при любом выборе вакуума. Фактически мы сможем построить операторы «смены картины», которые позволят перейти от одного вакуума к другому. Ситуация в точности аналогична исследованной ранее для случая картин и (см. (3.3.18) и (3.3.19)).

Исследовав структуру духового сектора -модели, мы должны сделать следующий шаг - найти поле, дающее конформный вес 3/8, т. е. недостающий фрагмент фермионной вершинной функции.

Бозонизируем теперь ток духового числа, введя в теорию новую функцию

Новый объект, который мы хотим исследовать, это

Его поведение на коротких расстояниях дается формулами

и

Это означает, что

Тем самым показано, что умножение на бозонизированное поле Позволяет нам перейти от одного духового вакуума к другому. Заметим, что духовые вакуумы NS-сектора целые, а духовые вакуумы R-сектора Дробные. Поскольку может быть дробным, это позволяет переходить одних и -вакуумов к другим в любом направлении, умножая на

Применим теперь этот метод бозонизации для записи антикоммутирующих полей и с через новое скалярное бозонное поле а:

Можем проверить, что эти поля обладают правильными конформными весами. Согласно (4.4.38), поле имеет конформный вес Тогда при поле имеет вес 2, тогда как при

поле имеет вес —1. Поэтому они имеют правильные веса.) Заметим что и левые, и правые части выражений (4.4.39) являются антикоммутирующими полями несмотря на то, что от само по себе - коммутирующее поле. Теперь легко показать, что

Для духового сектора -модели, однако, ситуация сложнее. Здесь духовые поля уже коммутируют, так что бозонизация не представляется возможной. Мы можем, однако, воспользоваться следующим трюком:

Здесь левые части суть коммутирующие поля, а правые - произведения двух антикоммутирующих полей, т. е. также являются антикоммутирующими полями (которые в свою очередь могут быть бозонизированы). Итак, мы выразили коммутирующие поля через антикоммутирующие. Мы можем также обратить эту процедуру:

Заметим, что поля сами по себе антикоммутирующие, так что их можно бозонизировать. Выразим эти два антикоммутирующие поля через бозонное поле х

Хотя конформная теория поля обладает тем огромным преимуществом, что в ней все поля свободные, за это приходится заплатить некоторую небольшую цену: необходимо следить за всеми этими разными свободными полями. Поскольку критически важно, чтобы все указанные бозонные поля были четко определены, составим таблицу их квантовых чисел:

Определение бозонных содержит важную тонкость. Заметим, что определяется через производную от , так что это поле независимо от нулевой моды поля . Поэтому обычное фоковское пространство не зависит от нулевой моды поля Итак, у нас имеются два возможных фоковских пространства. «Малое» фоковское пространно не содержит нулевой моды поля . «Большое» фоковское пространство содержит эту моду и является приводимым. Поскольку

то это значит, что вакуум системы вырожденный.

Смысл этого построения в том, что теперь мы можем выписать недостающую часть фермионного вершинного оператора.