§ П.4. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В СУПЕРСИММЕТРИЮ

В конце 60-х годов физики пытались построить всеобъемлющую группу, которая позволила бы объединить внутреннюю группу симметрии (вроде и группу Лоренца или Пуанкаре. Они искали такую группу М, которая была бы нетривиальным объединением внутренней группы и группы Пуанкаре:

Большой интерес вызывали группы вроде Однако знаменитая теорема Колемана-Мандулы показала, что этот замысел осуществить невозможно. Не существует унитарных конечномерных представлении некомпактной группы. Так что верно одно из двух:

(1) Группа М имеет непрерывное распределение масс, или

(2) Группа М имеет бесконечное число частиц в каждом неприводимом представлении.

В обоих случаях для первоначального замысла это катастрофа. Однако оказывается, что супергруппы или градуированные группы Ли позволяют обойти эту запретительную теорему.

Работа Ли и Картана касалась лишь непрерывных простых групп с вещественными параметрами Однако если мы допустим, чтобы эти параметры были грассмановыми числами, мы можем обобщить упомянутые выше классические группы и получить супергруппы.

Два обширных бесконечных класса групп, которые нас будут интересовать, это

Начнем с группы сохраняющей инвариант:

и группы сохраняющей форму:

Здесь матрицы С вещественные и антисимметричные, поскольку -грассмановы числа. Ортосимплектическая группа теперь определяется как группа, сохраняющая следующую сумму:

Заметим, что ортосимплектическая группа очевидным образом содержит в себе следующее прямое произведение:

Простейший способ выразить матричное представление этой группы - это блочно-диагональная форма:

Ограничения на матрицы А и В просты.

Аналогично, суперунитарные группы можно определить как группы, сохраняющие комплексную форму

Бозонное разложение этой группы дается формулой

Выпишем образующие группы в виде

Их коммутационные соотношения суть

Выписанные в явном виде, коммутаторы образующих группы

суперсимметрии суть

То, что мы хотим получить, это явное представление этих образующих в том смысле, в котором

служит образующей группы трансляций в [-пространстве. Теперь нужно обобщить понятие пространства-времени, чтобы включить в него суперсимметричного партнера лжоординаты. Определим суперпространство как пространство, порожденное парой

где является грассмановым числом. Теперь определим образующую группы суперсимметрии

где - грассманово число. Мы выбрали это конкретное представление, поскольку антикоммутатор двух таких образующих дает перемещение, как это и должно быть:

Заметим, что осуществляет следующее преобразование в суперпространстве:

Заметим также, что мы можем построить оператор

антикоммутирующий с генератором суперсимметрии:

Это очень важно, поскольку это позволяет наложить ограничения на представления группы суперсимметрии, не разрушая симметрии. Это позволит нам извлечь неприводимые представления из приводимых.

Попробуем теперь построить действие, инвариантное относительно преобразований суперсимметрии. Определим суперполе V как степенное

разложение наиболее общего вида в этом суперпространстве:

Тогда представление суперсимметрии дается формулой

Заметим, что в силу этого определения произведение двух суперполей также является суперполем:

Таким образом, мы можем построить обширное множество представлений суперсимметрии с помощью этого простого правила умножения. Теперь вычислим в явном виде преобразование полей. Иногда окажется полезным разбивать четырехкомпонентный спинор на два двухкомпонентных спинора согласно тождеству

Используя индексы А и запишем майорановский четырехкомпонентный спинор через его компоненты, содержащиеся в

Обратив эти равенства, получим

и

В этих обозначениях ковариантные производные можно записать как

где

Вещественное векторное суперполе V можно разложить как

Теперь мы можем выписать суперсимметричное преобразование, зависящее от параметра , действующее на эти 16 полей:

Мы назовем это суперполе векторным, поскольку оно содержит векторную частицу в своем представлении (не потому, что суперполе само по себе является векторным полем относительно преобразований группы Лоренца). В общем случае векторные поля могут быть комплексными и приводимыми. Для образования неприводимых представлений удобно налагать на эти поля связи, не разрушающие их суперсимметричную природу. Эти связи должны тем самым коммутировать с генераторами суперсимметрии.

Заметим, что поскольку антикоммутирует с генератором суперсимметрии, мы можем наложить этот оператор производной на суперполе и снова получить некое представление суперсимметрии. Попробуем построить разные представления суперсимметрии, основанные на этом простом принципе. Мы можем наложить

Суперполе, удовлетворяющее этой связи, называется киральным суперполем. Заметим, что оно содержит только половину полей, содержащихся в исходном суперполе, но по-прежнему правильно преобразуется под действием нашей группы. Киральное суперполе обладает разложением

Вариация этого суперполя позволяет найти вариации его компонент:

Легко получаем

Можно также попробовать другие комбинации связей, скажем

наложенных на киральное суперполе. Мы обнаружим, однако, что сочетание этих двух связей, наложенных одновременно, означает, что является постоянным.

Другая возможная связь - это

Это дает линейный мультиплет. (К сожалению, действия, основанные на этой связи, обычно эквивалентны действиям, основанным на киральных суперполях, так что ничего нового мы отсюда не узнаем.) Другая возможная связь - это

К сожалению, это дает постоянное поле. Мы могли бы также наложить связь

Такая связь снова дает киральное суперполе. Наконец, мы могли бы также попробовать связь

для вещественного Это действительно даст совершенно новое суперполе, которое мы используем для построения действия теории Янга-Миллса.

Итак, новые поля, преобразующиеся как неприводимые представления группы суперсимметрии, это лишь киральное суперполе, векторное суперполе и суперполе Янга-Миллса. Другие комбинации, которые можно было бы попытаться использовать, дают либо постоянное поле, либо повторяют исходный набор полей.

Теперь обсудим проблему построения инвариантного действия, определив интегрирование по грассмановым переменным. Это должно быть сделано достаточно корректно. Обычное интегрирование по вещественным переменным, разумеется, является трансляционно инвариантным:

где с - вещественное смещение. Мы хотим, чтобы интегрирование по

грассмановым переменным обладало тем же свойством:

Если разложить эту функцию в ряд Тейлора, получим простое выражение

Определив

из условия трансляционной инвариантности получим

Отсюда ясно, что мы должны положить можно взять равным единице:

то

Другими словами, мы получили странно выглядящее тождество

С помощью этих тождеств можно показать, что

Таким образом, в общем случае инвариантное действие имеет вид (см. (П.4.27), (П.4.30))

Первый интеграл выделяет только -член суперполя. Второй интеграл выделяет только -член кирального суперполя. В общем случае будем называть их и членами. Можно проверить, что они являются инвариантными действиями:

Это следует из того, что интеграл от полной производной как в х-пространстве, так и в -пространстве равен нулю.

Попробуем теперь выписать простые инвариантные действия,

основанные на инвариантных и членах. Простейшее инвариантное действие называется моделью Весса-Зумино:

Выписанная покомпонентно после интегрирования по 0, оно принимает вид

Заметим, что теперь мы построили инвариантное действие с неприводимым представлением суперсимметрии с мультиплетом, содержащим спин 0 и спин 1/2: (1/2, 0). Чтобы построить мультиплет (1, 1/2), нужна следующая конструкция для действия Максвелла, которая дается формулой

Здесь

где К-вещественный векторный супермультиплет, преобразующийся как

Поле V вещественное, но А-киральная величина: Выполнив это преобразование, находим, что

так что это действие тривиально инвариантно как относительно преобразований суперсимметрии, так и калибровочных преобразований группы Заметим, что векторный супермультиплет содержит поле Максвелла тогда как киральный супермультиплет А содержит калибровочный параметр X. Это действие, выписанное покомпонентно, есть

Оно инвариантно относительно преобразования

Следующий мультиплет, интересующий нас, это (2, 3/2). Раньше считалось, что теория Рариты- Швингера порочна в своей основе, поскольку она не допускает непротиворечивых взаимодействий с гими полями. Однако физики просмотрели возможность взаимодействия поля Рариты-Швингера с гравитоном. Все несоответствия исчезают для этого мультиплета.