§ 1.6. КВАНТОВАНИЕ ФАДДЕЕВА-ПОПОВА

Прежде чем обсуждать метод BRST, нужно вернуться назад и вкратце рассмотреть формализм, разработанный Л. Д. Фаддеевым и В. Н. Поповым [47]. Как мы отмечали ранее, задаваемая

континуальным интегралом мера определена некорректно, поскольку она обладает калибровочной степенью свободы, так что мы интегрируем по бесконечному числу копий одного объекта. Наивно рассуждая, можно было бы ввести условие калибровки непосредственно в континуальный интеграл. Если это условие задается приравниванием к нулю некоторой функции аргументами которой служат поля,

то мы вставляем эту дельта-функцию прямо в континуальный интеграл:

Однако такой наивный подход на самом деле некорректен, поскольку дельта-функция привносит нетривиальную меру в функциональный интеграл.

Суть метода Фаддеева-Попова - ввести в функционал число 1, которое, очевидно, имеет правильную меру. Для наших целей самая удобная форма представления числа 1 дается выражением

где - параметризация калибровочной симметрии координаты, описываемой преобразованиями (1.4.6), вариация поля относительно этой симметрии, а детерминант Фаддеева-Попова задан предыдущим уравнением.

Заметим, что интеграл из предыдущего уравнения берется по всем возможным параметризациям поля. Поскольку все параметризации уже учтены этим интегрированием, то по построению детерминант Фаддеева-Попова не зависит от калибровки, соответствующей какой-либо конкретной параметризации:

Теперь внесем число 1 под знак функционального интеграла и сделаем калибровочное преобразование, чтобы включить зависимость от в х:

Заметим, что калибровочное преобразование снова возвращает нас от к исходной переменной Так как остальные части функционального интеграла не зависели от калибровки, имеем теперь

Теперь можно извлечь интеграл по параметру калибровки, служащий мерой бесконечного объема пространства калибровочной группы,

получить новое выражение для функционала, которое больше не содержит этой бесконечной избыточности:

Заметим, что наивное квантование континуального интеграла просто вставило бы ограничение и проигнорировало бы детерминант фаддеева-Попова - ту новую конструкцию, которая позволила получить корректную меру.

Теперь вычислим детерминант Фаддеева-Попова, несущий всю информацию о появляющихся в теории духах. Для этого произведем замену переменных, перейдя от к Это можно сделать, поскольку и одинаковое число степеней свободы. Поэтому можно вычислить якобиан:

Тем самым можно написать

Итак, множитель Фаддеева-Попова можно выразить как простой определитель вариации условия калибровки. Удобнее ввести этот множитель прямо в действие, выразив его через экспоненту. Используем следующий трюк:

где новый вклад духов в действие дается формулой

где переменные суть антикоммутирующие с-числа, называемые грассмановыми числами (см. Приложение). Обычно при функциональном интегрировании мы ожидаем получить определитель обратной матрицы. При функциональном интегрировании по грассмановым числам определитель оказывается в числителе, а не в знаменателе. Грассмановы числа обладают тем странным свойством, что

В частности, это означает, что

Обычно это означало бы, что 0 равно нулю. Но для грассмановых чисел это не так. Кроме того, у нас есть странное тождество

Это тождество весьма облегчает интегрирование экспонент от полей, значения которых являются грассмановыми числами, так как эти экспоненты становятся многочленами. Другие тождества для грассмановых чисел приведены в приложении, где мы показываем, что

Это тождество подтверждает, что интегрирование по грассмановым переменным дает содержащие определители множители в числителе, а не в знаменателе, так что мы можем выразить детерминант Фаддеева-Попова в (1.6.11) через грассманов интеграл.

Теперь, развив аппарат квантования Фаддеева-Попова, возвратимся к подходу BRST, в котором мы налагаем калибровочное условие

(мы опустим некоторые тонкости, связанные с этой калибровкой). В такой калибровке мы должны суметь получить обычный ковариантный фейнмановский пропагатор. Чтобы это показать, заметим, что действие (1.4.14) принимает вид

С этим лагранжианом наша функция Грина для распространения точечной частицы из одной точки в другую теперь дается формулой

Заметим, что это обычный ковариантный фейнмановский пропагатор, записанный в терминах первичного квантования посредством континуального интеграла.

Первоначально, до выбора калибровки, действие было инвариантно

относительно

Поэтому детерминант Фаддеева-Попова, связанный с выбором калибровки - это определитель такой производной. Теперь мы используем интеграл Гаусса по грассмановым состояниям для выражения этого определителя с помощью уравнения (1.6.10):

(Если бы мы взяли обычные вещественнозначные поля вместо грассмановых, то определитель появился бы в неправильной степени.)

Собирая все вместе, мы находим, что окончательное действие можно представить в виде

Сущность подхода BRST состоит в том, чтобы заметить, что это действие с фиксированной калибровкой обладает дополнительной симметрией

На первый взгляд может показаться странным, почему уже после фиксации калибровочных степеней свободы у нас появляется еще одна симметрия. Однако эта дополнительная симметрия является глобальной и, стало быть, не позволяет наложить на теорию какие-либо ограничения. Значит, эта симметрия отлична от найденных ранее, и ее нельзя использовать для устранения из действия калибровочных полей.

Можно подытожить подход BRST, введя оператор порождающий найденные ранее симметрии:

Физические состояния удовлетворяют условию

Заметим, наложение такого ограничения дает уравнение Клейна-Гордона для частиц на массовой поверхности: