§ 11.9. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ СУПЕРСТРУНЫ

При построении моделей четырехмерных струн, использующих компактификацию на орбиобразия, должны быть учтены дополнителыше ограничения, такие, как модулярная инвариантность и условие Эти ограничения нетривиальны, потому что модулярная инвариантность перемешивает граничные условия.

Например, при изучении модулярной инвариантности можно компактифицировать на шестимерный тор факторизованный по дискретной группе так что (твистованные) граничные условия на орбиобразии являются следующими:

Здесь - элементы группы Р порядка Для обычных бозонных и фермионных граничных условий равны Однако при компактификации на орбиобразия эти условия должны быть обобщены.

Нетривиальность может, конечно, нарушить полную симметрию теории как по пространству-времени, так и по внутренним переменным. Группа, сохраняющаяся при компактификации, это та

подгруппа, которую этот процесс не затрагивает, т. е. подгруппа, коммутирующая с

Для изучения того, как изменяется однопетлевой след в процессе компактификации, приведем дикк диагональному виду с собственными значениями на диагонали, являющимися элементами порядка Для простоты мы выберем следующее условие периодичности:

Заметим, что фурье-разложение струнных мод теперь изменяется. Мы должны разложить теперь струнные поля в терминах нового набора мод:

Присутствие в фурье-модах изменяет вычисление следа в однопетлевой амплитуде, что приведет к нетривиальным ограничениям на

При вычислении следа входит в энергию нулевых колебаний. Для обычной бозонной струны, например, нерегуляризованный гамильтониан содержит множитель , который, конечно, имеет бесконечные матричные элементы и должен быть нормально упорядочен. Нормальное упорядочение операторов рождения и уничтожения приводит к бесконечной энергии нулевых колебаний, равной

Бесконечная энергия нулевых колебаний может быть получена различными способами (например, из требования лоренц-инвариантности теории в калибровке светового конуса), но можно показать, что каждый из них приводит к тому же результату, что и регуляризация с помощью дзета-функции. Дзета-функция определяется следующим образом:

Эта функция аналитична по ее можно аналитически продолжить в точку и показать, что . Это дает желаемый результат, поскольку является аналитическим продолжением ряда

Используя теперь регуляризацию с помощью дзета-функции для вычисления вклада от сдвинутых мод, используем тот факт, что

Член , возникающий при вычислении следа для сдвинутых мод на орбиобразии, представляет собой новый вклад в энергию нулевых колебаний.

Рассмотрим теперь гетеротическую струну, где вычисление следа для однопетлевой амплитуды приводит к множителю, содержащему энергии левых и правых мод:

Это выражение инвариантно относительно преобразования если положить

Если мы обозначим собственные значения правого сектора через а два набора собственных значений левого сектора через для подгруппы группы то из (11.9.5) мы получим следующий вклад нулевых колебаний в энергию основного состояния:

Поскольку можно собрать все вместе и получить ограничение

выполняющееся и для нечетных и и по для четных

Рассмотрим теперь влияние этих ограничений на процесс компактификации, обсуждавшийся ранее для случая -орбиобразия, т.е. пространства имеющего стационарную подгруппу Р порядка 3. Это означает, что могут быть помещены на корневую решетку группы

Из условия модулярной инвариантности следует, что должно равняться 2/3 от некоторого целого числа. Но поскольку лежит на корневой решетке группы всегда можно положить равным 2/9 от некоторого целого числа. Наконец, мы знаем, что всякая точка восьмимерного пространства, содержащего решетку корней группы находится на расстоянии 1 от некоторой точки решетки. Это означает, что всегда можно выбрать

Модулярная инвариантность является столь жестким ограничением, что только пять решений согласуются с ограничением (11.9.9) различных Каждый из пяти таких наборов нарушает группу симметрии до подгруппы, коммутирующей с твистующими множителями Имея явный вид нетрудно вычислить эту подгруппу-Поскольку совпадает с вектором решетки, подгруппа, сохраняющаяся после нарушения симметрии, является группой, коммутирующей с этими векторами решетки. Мы просто перечислим упомянутые пять решений [8, 9]:

(кликните для просмотра скана)

Решение (5) дает группу симметрии (Многоточие обозначает последовательность нулей.)

Пять групп, которые мы построили с помощью орбиобразий, не имеют никакого отношения к стандартной модели. Эти группы все еще слишком обширны, и число поколений слишком велико. Модели этого типа часто имеют 27 поколений, потому что всегда можно построить струны, намотанные вокруг 27 неподвижных точек орбиобразия, что и приводит к числу избыточности 27. Однако мы можем редуцировать далее калибровочную группу и контролировать число поколений, постулируя существование фоновых калибровочных полей (вильсоновских петель), соответствующих нестягиваемым петлям на торе. В принципе это позволяет получать модели только с тремя поколениями и калибровочной группой Как и в предыдущем обсуждении, выживающей калибровочной группой будет подгруппа в коммутирующая с вильсоновской петлей. В случае орбиобразий с вильсоновскими петлями, выживающей калибровочной группой является подгруппа в коммутирующая как с так и с вильсоновской петлей.

Определим вильсоновский интеграл, параметризованный числами

где задают решетку на шестимерном торе. Таким образом, мы ввели в наши уравнения связи новый вектор с компонентами что позволит нам построить новые решения. Можно показать, что и равны компонентам векторов на решетке.

Относительно модулярного преобразования векторы корневой решетки группы преобразуются следующим образом:

где . Различные значения чисел дадут различные твистованные секторы. Повторяя предыдущие рассуждения, можно также показать, что модулярное преобразование приводит к уравнению [10, 11]:

для некоторого целого числа т. Это и есть то самое уравнение связи, возникающее из условия модулярной инвариантности, которое является менее ограничительным, чем (11.9.9).

Существует огромное число решений этого уравнения [10, 11] из-за наличия члена с Выберем, однако, одну из таких возможностей, которая приводит к существованию трех поколений. Мы выберем следующий набор значений для

и

Можно показать, что в нетривиальном секторе подгруппой группы коммутирующей с действием вильсоновской петли, является группа

тогда как вторая группа нарушается до

Отметим, что число поколений теперь редуцировано до трех. (Это связано с тем, что 27 неподвижных точек могут быть разбиты на три сектора по девять точек в каждом, если существует вильсоновская петля в одном из трех комплексных измерений. Добавление двух вильсоновских петель создает девять секторов по три неподвижные точки в каждом. Тщательный выбор компонент уничтожает все секторы, кроме одного, оставляя только три поколения.) Еще одним преимуществом этой модели является отсутствие дополнительных цветных триплетов, которые могли бы ускорить распад протона.

Недостатком этой модели, однако, является слишком большое число множителей что плохо с точки зрения феноменологии. Действительно, использование вильсоновских петель не уменьшает ранга группы (поскольку мы факторизуем по дискретной группе), так что мы по-прежнему имеем дело с группами ранга 8, что слишком много. Более того, необходимо проверить, не приводят ли эти дополнительные множители к аномалиям.

До сих пор ни одно из решений, полученных с помощью орбиобразий [12-25] (или многообразий Калаби-Яу), не обладает в точности той низкоэнергетической структурой, которая нам нужна. Имеются также проблемы с получением правильного числа поколений, правильной калибровочной группы при низких энергиях, приемлемых значений для времени распада протона и т.д. Важно, однако, то, что эти методы компактификации позволяют построить в принципе тысячи решений, совместимых с условием модулярной инвариантности.

Необходим, конечно, конструктивный метод вычисления всех четырехмерных физически приемлемых решений уравнений теории струн. До сих пор основная работа заключалась в постулировании некой конкретной схемы компактификации и проверке ее согласованности с условием модулярной инвариантности. Недавно была проделана значительная работа в обратном направлении, а именно сначала налагалось условие модулярной инвариантности, а затем искались все возможные схемы компактификации, совместимые с этим условием.

Эта новая программа приводит к следующему набору критериев для всякой физически приемлемой теории: модель должна быть (а) свободной от тахионов, (Ь) не содержать аномалий, (с) модулярно-инвариантной, (d) суперсимметричной и (е) четырехмерной. Пока что при осуществлении этой амбициозной программы получены лишь предварительные результаты, но они представляются весьма обнадеживающими.

Нам необходим метод вычисления всех коэффициентов С в однопетлевой амплитуде (5.9.6) для каждой спинорной структуры. Например, в разд. 5.9 и 5.11 мы проанализировали однопетлевую и многопетлевую спинорные структуры и их изменение относительно модулярных преобразований. Теперь мы хотим систематически изучить следствия наложения условия модулярной инвариантности на многопетлевые спинорные структуры [26-31]. Начнем с разложения струнной амплитуды в терминах всех возможных спинорных структур:

Здесь обозначают различные спинорные структуры над циклами причем каждый элемент из а равен нулю или единице. С - коэффициент, который должен быть определен, а А представляют амплитуду для каждой спинорной структуры. На римановой поверхности рода существует 229 различных спинорных структур.

Перепишем уравнения разд. 5.9 и 5.11 в новых терминах. При выполнении преобразований группы функции должны удовлетворять уравнению (5.11.15). Требование модулярной инвариантности на однопетлевом уровне означает, что коэффициент С должен быть согласован с изменением граничных условий, задаваемых (5.9.7) 0 (5.11.17). Возникающие при этом ограничения на С в новых обозначениях

можно переписать следующим образом:

где сумма берется по фермионам (из числа левых мод вычитается число правых мод), каждое принимает значение 0 или 1, а векторные суммы берутся по

Когда мы требуем модулярной инвариантности на многопетлевом уровне, мы должны наложить дополнительные ограничения на коэффициенты С. Например, условие унитарности требует факторизации амплитуды, описывающей поверхность рода в произведение амплитуд, описывающих поверхности рода 1 (торы); таким образом, с помощью уравнения (5.1.7) и подстановки полного набора промежуточных состояний мы должны суметь разрезать поверхность рода на различные поверхности рода 1. В наших новых обозначениях это означает, что

Как мы видели в гл. 5, твисты Дена могут переставлять циклы на поверхности рода поэтому мы должны также потребовать (по крайней мере на двухпетлевом уровне) выполнения условия

где равно если по пространственно-временным индексам состояние является фермионом или бозоном.

Замечательно, что существует достаточно простое решение этих уравнений связи.

Сначала дадим несколько определений.

(1) Заменим коэффициент С эквивалентным выражением , где обозначает набор фермионов, периодичных по циклу

(2) Введем простое правило «умножения»:

Это означает, что т.е. -пустое множество. Пусть означает множество всех фермионов. Тогда произведение равно дополнению множества а, т. е.

(3) Введем , равное для фермионов для бозонов.

(4) Пусть обозначает разность между числом левых фермионов и числом правых фермионов.

(5) Определим и оператор четности для спинорной структуры а, удовлетворяющий соотношениям

Спинорная структура совместима с суперсимметрией, если

где генератор суперсимметричных преобразований из суперконформной группы.

(6) Определим как набор множеств (образующий группу, замкнутую относительно нашего определения умножения (11.9.27)) с упомянутым выше свойством суперсимметрии. Определим как подгруппу У, удовлетворяющую

где

Имея теперь эти определения, установим уравнения связей, возникающие из требования модулярной инвариантности. Поскольку кратно восьми, мы получаем следующие уравнения на базисные элементы из

а также уравнения, возникающие из требования модулярной инвариантности: для любых , у из набора Е

Наконец, имеются уравнения связей, которые обязательно должны выполняться, возникающие из условия сокращения конформной аномалии. Будем использовать фермионное (а не бозонное) представление для компактификации на решетку. Это было использовано для гетеротических струн в уравнении (10.4.4). Следует осторожно включать фермионный вклад в конформную аномалию для алгебры супер-Вирасоро. Замечательно, что представление для фермионного партнера тензора энергии-импульса может быть задано в терминах

присоединенного представления для фермионов:

При вычислении возникающей из этого члена аномалии мы находим, что фермионный вклад в аномалию равен где число параметров группы.

В левом секторе число компактифицированных измерений равно где число пространственно-временных измерений. Мы зададим компактифицированный сектор фермионами в присоединенном представлении. В этом секторе три вклада в аномалию суть

Поскольку сумма трех вкладов в аномалию должна равняться нулю, мы очевидным образом имеем фермионов

Проанализируем теперь правый сектор, где вклады в аномалию также должны в сумме давать нуль:

Условие обращения аномалии в нуль приводит к Добавив фермионов содержащихся в (в калибровке светового конуса), мы получим фермионов в правом секторе (в калибровке светового конуса). Итак, для сокращения аномального члена в алгебре Вирасоро мы должны иметь следующее число фермионов:

Сокращение аномалий происходит автоматически, если мы имеем эти числа фермионов в левом и правом секторах.

Теперь, когда мы выписали все уравнения связей в явном виде, наша стратегия такова:

(a) Вычисляем сначала полное число пространственно-временных фермионов и внутренних фермионов удовлетворяющих (11.9.36), при котором теория не содержит конформных аномалий. Потом мы вычисляем полное число спинорных структур, возникающих для этого набора фермионов, который мы обозначаем F.

(b) Далее произвольным образом выбираем набор спинорных структур в качестве исходного множества внутри полного множества содержащего

(c) Потом проверяем замкнутость относительно умножения (11.9.27) генерирующего полную группу 3, совместимую с выбором исходны спинорных структур. (Выбирая различные исходные множества для , можно получить различные схемы компактификации.)

(d) Затем вычисляем квадратную матрицу определенную на множестве и удовлетворяющую нашим уравнениям связи. Некоторые произвольные фазы введены способом, позволяющим генерировать более одного решения для каждого множества 3.

Обсудим теперь некоторые свойства решений этих уравнений. Замечательно, что все самосогласованные решения обязательно содержат гравитоны, дилатоны и антисимметричные тензоры. Мы также обнаруживаем, что присутствие безмассовых полей спина 3/2 достаточно для доказательства отсутствия тахионов и исчезновения космологической постоянной на однопетлевом уровне. Эти обнадеживающие результаты показывают полную самосогласованность этих уравнений, что приводит к феноменологически желательным следствиям.

Обсудим теперь несколько частных решений этих уравнений. Сначала обсудим 10-мерную теорию типа II (без компактификации) в калибровке светового конуса после наложения на наши фермионы всех уравнений связи, требуемых калибровкой светового конуса. Тогда фермионы состоят из восьмикомпонентных пространственно-временных правых фермионов и левых фермионов а внутренние фермионы выбраны равными нулю:

(1) Простейшим выбором для является

К сожалению, тщательный анализ спектра этой теории показывает, что она содержит тахионы и, следовательно, неприемлема.

(2) Выбор

приводит к более чем одному решению, что зависит от выбора определенных фаз матрицы Два таких выбора приводят к теориям типа и

(3) Для четырехмерной компактифицированной теории следует выбирать различные наборы . В четырех измерениях пространственно-временные фермионы представлены поперечными левыми и правыми фермионами. В соответствии с (11.9.36) внутренние степени свободы могут быть представлены также фермионами, причем в этом случае мы имеем для правых и для левых фермионов. Перегруппируем эти 18 внутренних фермионов как где и перенумеруем векторов группы Выберем подмножество Тогда выбор

приводит к нескольким (N = 4)-суперсимметричным четырехмерным теориям с калибровочными группами или

Проанализируем теперь 10-мерную гетеротическую струну в калибровке светового конуса, имеющую поперечные правые пространственно-временные спиноры внутренних левых спиноров

приводит к нефизической теории с калибровочной группой в которой имеются тахионы и отсутствуют безмассовые фермионы.

(2) Выбор

приводит к обычной гетеротической струне с калибровочной группой

(3) Если мы положим то набор

приводит к двум возможностям, зависящим от выбора фаз. Один выбор фазы приводит к стандартной суперсимметричной теории с калибровочной группой а другой выбор приводит к (несу-персимметричной) теории с группой .

(4) После компактификации к четырем измерениям можно снова записать правые внутренние фермионы в виде

6 и выбрать Тогда простейший выбор

приводит к -суперсимметричной теории с калибровочной симметрией Это одно из решений, найденных Нараяном при помощи четных автодуальных лоренцевых решеток.

Очевидно, что существуют, возможно, тысячи различных наборов замкнутых относительно умножения (11.9.27) и удовлетворяющих следующим из модулярной инвариантности уравнениям связи. Этот формализм позволяет разрешить проблему построения полной классификации всех возможных компактифицированных решений, совместимых с условием модулярной инвариантности.

Прежде чем закончить эту главу, важно указать те новые направления, где компактификация может использоваться. Перечислим три Интересные темы, касающиеся четырехмерных суперструн:

(1) Асимметричные орбиобразия.

(2) «Запретительная» теорема, исключающая из рассмотрения суперструны типа II.

(3) Суперструны из струн Намбу-Гото.

Понятие «асимметричных орбиобразий», идущих под номером (1)

в нашем обсуждении, охватывает намного более широкий класс орбиобразий, чем обсуждавшееся нами ранее. Асимметричные орбиобразия [31] также могут дать нам возможность классифицировать тысячи модулярно-инвариантных решений уравнений теории струн. При компактификации теорий струн на асимметричные орбиобразия левые и правые степени свободы соответствуют различным орбиобразиям При компактификации 10-мерного пространства-времени возникает естественное желание использовать симметричную компактификацию левого и правого секторов, однако существуют самосогласованные модулярно инвариантные асимметричные компактификации, при которых шесть пространственных измерений левого и правого сектора трактуются асимметрично.

Хотя и трудно наглядно представить себе, как компактифицировать на асимметричные орбиобразия, можно достаточно просто показать, что модулярно инвариантные решения существуют. Например, будем отождествлять координаты, отличающиеся на множитель где принадлежит дискретной группе. Тогда функция распределения для однопетлевой диаграммы в направлении при должна иметь вид

Этот след может быть вычислен в точности так же, как и раньше, но с учетом того, что левое и правое пространство теперь различны. Как и прежде, требование модулярной инвариантности приводит к условию

Если собственные значения равны то это условие приводит к ограничениям на сумму Полученные в результате ограничения на почти тождественны найденным для симметричного орбиобразия (11.9.9), но с учетом того, что левые и правые секторы теперь трактуются различным образом в зависимости от структуры пространства. Хотя с асимметричными орбиобразиями работать значительно труднее, чем с симметричными, все же можно построить большой класс асимметричных орбиобразий, совместимых с условием модулярной инвариантности. (На практике асимметричное орбиобразие иногда погружают в симметричное орбиобразие большей размерности, на котором вычисления проще, а потом возвращаются к асимметричному орбиобразию

Резюмируя, преимущество асимметричных орбиобразий заключается в том, что они позволяют нам классифицировать чрезвычайно обширный класс модулярно инвариантных компактификаций в четырех измерениях. Это может быть очень полезно для понимания полного набора физически приемлемых компактификаций теории суперструн.

Второе новое направление компактификации струн заключается в исследовании возможности применения асимметричных орбиобразий для получения реалистичных калибровочных групп в случае суперструн типа II. Традиционно считалось, что струны типа II не годятся с точки зрения феноменологии, поскольку не допускают введения множителей Чана-Патона. В 10 измерениях суперструны типа II приводят к теории

Гравитации без полей Янга-Миллса. В то время как гетеротические струны приводят к слишком большому числу квазиреалистичных групп 0 четырех измерениях, поскольку содержат поля Янга-Миллса в 10 измерениях, в случае струн типа II мы сталкиваемся с противоположной Проблемой: поля Янга-Миллса в 10 измерениях вообще отсутствуют. Вследствие этого суперструны типа II менее интересны с феноменологической точки зрения.

Вопреки общепринятому мнению, недавние попытки [32, 33] компактифицировать суперструны типа II показали возможность получения ряда изоспиновых групп при редукции теории к четырем измерениям. Например, при обсуждении сокращения аномалий в (11.9.36) мы видели, что внутренние компактифицированные измерения могут быть фермионизированы введением фермионов в присоединенном представлении некоторой группы. Таким образом, мы ожидаем, что при редукции к четырем измерениям компактификация суперструн типа II может приводить к следующим калибровочным группам:

Существование нетривиальных четырехмерных калибровочных групп для суперструн типа II - достаточно удивительный результат. Он показывает, что теория суперструн продолжает бросать вызов традиционным представлениям.

Однако недавно было показано, что при довольно общих предположениях теории струн типа II никогда не могут привести к стандартной модели с триплетом кварков и дублетом лептонов [34]. Этот сильный отрицательный результат вряд ли возможен для гетеротической струны, приводящей к большой янг-миллсовской калибровочной группе в 10 измерениях. Однако поскольку суперструны типа II не содержат полей Янга-Миллса в 10 измерениях, они менее пригодны для феноменологии, чем гетеротические струны, и более уязвимы для «запретительных» теорем, которые могут вообще исключить их из рассмотрения.

Этот отрицательный результат, требующий очень слабых предположений об алгебрах супер-Каца-Муди, замечателен тем, что он, по-видимому, полностью устраняет струны типа II из рассмотрения. Этот результат не зависит от выбора схемы компактификации и чувствителен только к сокращению суперконформной аномалии. Компактификации с триплетом кварков, но без дублета лептонов (или наоборот), еще возможны, но, похоже, невозможно получить триплет кварков и дублет лептонов одновременно.

Эта теорема запрета интересна тем, что показывает способность алгебр супер-Каца-Муди исключать из рассмотрения целый ряд подходов к построению моделей. Поскольку этот отрицательный результат наверняка может быть обойден, преждевременно обсуждать, выдержит ли он проверку временем, но детали доказательства интересны сами по себе.

Начнем построение алгебр супер-Каца-Муди и Вирасоро для

компактифицированной модели, используя фермионную конструкцию изоспинового сектора с помощью фермионного поля Нашей целью является вычисление суперконформной аномалии для генераторов алгебры супер-Вирасоро в различных фермионных представлениях, чтобы показать, что она не может быть уничтожена для стандартной модели. До компактификации аномалия равна (см. (4.2.29)):

где возникает из бозонных координат струны, возникает из фермионов а возникает из конформных и суперконформных духов соответственно. После компактификации мы должны положить и добавить в аномалию вклад от компактифицированных фермионов Обозначим его через с. Тогда после компактификации аномалия равна

так что с должно равняться 9, а должно равняться 6.

Первым делом вычислим вклад в аномалию от компактифицированных полей К счастью, представление генераторов алгебры супер-Каца-Муди и генераторов алгебры супер-Вирасоро можно задать с помощью фермионного поля Обозначим через 0 грассманову переменную; тогда генераторы алгебры супер-Каца-Муди могут быть заданы как суперполя

Теперь можно просто вычислить аномальный член алгебры Каца-Муди (называемый уровнем к; см. в терминах этого представления. Получаем

где - собственное значение квадратичного оператора Казимира для группы Поскольку мы интересуемся стандартной моделью, выберем группу в качестве группы для которой

Далее мы хотим найти вклад фермионного поля в конформную аномалию алгебры супер-Вирасоро. К счастью, известно явное представление в терминах генератора алгебры супер-Вирасоро:

Когда мы вычисляем конформную аномалию для этого конкретного представления алгебры супер-Вирасоро, то находим

где размерность группы В нашем случае имеем

(Это легко показать. Мы знаем из старой модели NS-R в измерениях и из (4.2.29), что фермионы дают вклад в аномалию а бозоны дают вклад в аномалию, равный Заметим, что имеет в точности тот же вид, что и для фермионной части модели за исключением того, что имеется фермионов, так что следует ожидать вклада в бозонные коммутаторы алгебры Вирасоро.)

Следующий шаг несколько более сложен. Мы знаем, что кроме указанного выше представления вклады в аномалию могут давать и другие представления алгебры супер-Каца-Муди. Однако недавние результаты в теории алгебр Каца-Муди [35] говорят о том, что на возможный вид их аномалий могут быть наложены сильные ограничения, если потребовать унитарности представлений. Предположим, например, что имеется новый неизвестный вклад в аномалию алгебры супер-Каца-Муди, даваемый генераторами , явный вид которых знать не обязательно. Тогда новые результаты теории алгебр Каца-Муди утверждают, что все унитарные представления могут быть получены следующим образом:

Предположим, что представление алгебры с генераторами имеет уровень к. Тогда полный уровень является суммой обычного члена и к:

Заметим, что вклад в тензор энергии-импульса имеет форму Сугавары, т.е. генераторы алгебры Каца-Муди входят в него квадратично. Это означает, что вклад в конформную аномалию известен точно. Прямым вычислением можно найти коммутатор между двумя тензорами , следовательно, получить полный вклад в конформную аномалию:

где первый член возникает из-за полей а второй член может быть вычислен, поскольку тензор энергии-импульса имеет форму Сугавары.

Подставляя значения

мы находим, что

должно равняться шести.

Пока наши результаты еще очень слабы; мы не можем сделать какого-либо заключительного утверждения, поскольку значение к неизвестно. Сделаем теперь ключевой шаг в нашем доказательстве.

Условие унитарности представления алгебры супер-Каца-Муди приводит к новому ограничению, позволяющему вычислить границы изменения к [35]. В частности, известно, что нормы элементов унитарного неприводимого представления алгебры должны быть неотрицательными.

В общем случае неприводимые представления групп Ли строятся выбором вакуумного вектора старшего веса для некоторого представления и действием на него всеми возможными повышающими операторами:

В результате получаем универсальную обертывающую алгебру. Отметим, что эта обертывающая алгебра реализует представление алгебры супер-Каца-Муди, так как любое преобразование с помощью генераторов отображает элемент обертывающей алгебры в другой элемент этой же алгебры. Вычислим норму состояния

которая должна быть неотрицательной для того, чтобы представление было унитарным. При вычислении нормы в терминах к и использовали коммутационные соотношения для генераторов. Известно, что является не чем иным, как генератором обычной конечномерной группы Ли, так что этот матричный элемент может быть вычислен

в явном виде для любого состояния старшего веса, обозначенного через Элементарные выкладки, использующие теорию групп, показывают, что предыдущее неравенство может быть переписано в виде

где - число столбцов в таблице Юнга для представления Для в точности равно удвоенному изотопическому спину состояния.

Теперь можно кратко сформулировать ключевой шаг в доказательстве. Мы должны одновременно удовлетворить двум условиям:

Задав эти ограничения, теперь можно выписать все возможные калибровочные группы, получаемые при компактификации суперструн типа II к четырем измерениям:

(g) все собственные подгруппы указанных выше групп.

Еще более интересен тот факт, что, используя указанные выше ограничения, можно легко вычислить с для различных представлений . А именно получаем:

(1) Если и мы требуем существования триплета кварков, тогда к 1 и с 4:

(2) Если и мы требуем существования дублета лептонов, тогда к

(3) Если , то

Следовательно, полный вклад в аномалию от всех трех групп стандартной модели равен сумме

что в точности на больше требуемого. Это наш главный результат. Таким образом, в суперструнах типа II оказывается невозможным Устранить конформную аномалию.

Для обхода этой трудности следует, очевидно, опустить некоторые существенные черты стандартной модели (и предположить, что некоторые кварки или лептоны возникают как связанные состояния) или полностью отбросить струны типа II. Например, если отказаться от дублета лептонов, то и аномалия исчезает. Если не отказаться от дублетов и триплетов, то для аномалии можно получить сколь угодно близкое к шести число, но этого недостаточно для получения стандартной модели.

Третье упоминавшееся нами новое направление, использующее компактификацию струн, предлагает амбициозную программу получения всех возможных теорий суперструн из исходной бозонной струны Намбу-Гото [36-39]. В настоящее время теория гетеротических струн хотя и является главным кандидатом на теорию всех известных взаимодействий, она представляется довольно искусственной из-за ее весьма асимметричной природы. Если теория гетеротических струн претендует на статус фундаментальной, то представляется странной подобная неэлегантность ее формировки. Соблазнительно предположить, что гетеротическая струна и все другие модели суперструн являются просто разными компактификациями исходной 26-мерной струны.

Три наблюдения делают это предположение правдоподобным. Во-первых, возможность фермионизации и бозонизации в двух измерениях означает, что фермионы в десятимерной модели суперструн могут быть конденсатами бозонов в 26 измерениях. Следовательно, отсутствие фермионов в 26-мерной теории струны не приводит к каким-либо трудностям. Суперсимметрия в этой картине возникает «случайно» при компактификации от 26 к 10 измерениям. Во-вторых, все изученные до сих пор компактификации выглядят внешне как различные усечения исходной бозонной теории струн. В частности, число 26 снова и снова появляется в теориях суперструн, заданных в 10 измерениях. В-третьих, присутствие в 26-мерной теории тахиона (причинявшего такую головную боль в первые годы развития теории) теперь выглядит как достоинство. Существование тахиона просто означает, что безыскусно выбранный вакуум нестабилен относительно квантовых поправок, поэтому выглядит правдоподобным, что для бозонной теории струн в 26 измерениях нарушение до 10-мерной теории может быть предпочтительным.

Хотя этот подход и имеет свои эстетические достоинства, следует указать серьезные проблемы, с которыми он сталкивается. Во-первых, при редукции к 10 измерениям мы должны отбросить большое число частиц. Куда деваются эти частицы? Даже если мы смогли бы изгнать их, они могли бы легко появиться в древесных и петлевых диаграммах. Снова приходится прибегать ,к ссылкам на динамические эффекты распада (которые невозможно вычислить). Во-вторых, следует корректно использовать теорию групп. Фермионы 10-мерной теории суперструн преобразуются относительно той же самой группы Лоренца которая действует и на бозоны в 10 измерениях. При переходе от

26 к 10 измерениям 16 дополнительных бозонов не преобразуются относительно группы действующей на остающиеся 10 бозонов. Эти дополнительные 16 бозонов должны в конечном счете переходить в фермионы в измерениях, не преобразующиеся относительно группы Таким образом, неясно, как возникает действие группы Лоренца на фермионах, сопоставляемых 16-мерному бозонному сектору, не преобразующемуся относительно По этой и другим причинам заманчивая идея компактификации теории 26-мерной струны к 10-мерной теории является пока красивой мечтой.