Глава 11. ПРОСТРАНСТВА КАЛАБИ-ЯУ И ОРБИОБРАЗИЯ

§ 11.1. ПРОСТРАНСТВА КАЛАБИ-ЯУ

Несмотря на то что формулировка гетеротической струны является значительным продвижением по сравнению с обычной формулировкой теории струн, остается еще вопрос, можем ли мы редуцировать теорию к четырем измерениям и удовлетворить строгим феноменологическим ограничениям. Ответ на этот вопрос, к сожалению, отрицателен.

В настоящее время арсенал технических средств, находящихся в нашем распоряжении, слишком примитивен, чтобы ответить на вопрос, претерпевает ли теория спонтанную размерную редукцию. Нам остается только ждать дальнейшего развития полевой теории струн или, возможно, создания другого формализма, прежде чем можно будет сделать какое-либо заключение относительно истинного вакуумного состояния теории.

При отсутствии непертурбативной формулировки теории лучшее из того, что можно сделать, - поискать различные классические вакуумы теории и определить, могут ли они соответствовать приемлемой феноменологии. Неожиданно оказывается, что довольно слабые ограничения на схему компактификации достаточны для получения приемлемой феноменологии. Хотя ни одно из решений не согласуется полностью с минимальной моделью мы подходим к ней достаточно близко, сделав всего лишь несколько предположений относительно классических вакуумов.

Однако, к сожалению, мы сталкиваемся с затруднением, заключающимся в обилии таких вакуумов. Имеются сотни, если не тысячи, допустимых классических решений, и неясно, как выбрать один вакуум среди всех возможных. Таким образом, хотя простейшая феноменология может быть получена из теории струн, нам все же придется подождать развития непертурбативного формализма, прежде чем можно будет сделать какие-либо определенные утверждения относительно подлинного вакуума теории.

В этой главе мы поэтому предположим, что компактификация может быть выполнена, и обсудим два метода записи классических вакуумов для теории струн:

(1) Пространства Калаби-Яу. Потребуем, чтобы -суперсимметрия в четырех измерениях была ненарушенной. Это простое предположение вынуждает нас рассматривать многообразия с ковариантно постоянным спинором, что в свою очередь накладывает ограничения на рассматриваемое -мерное многообразие: оно должно быть многообразием Калаби-Яу [1, 2].

(2) Орбиобразия. Компактифицируем на торы, факторизованные по действию дискретной группы. Это позволяет нам нарушать калибровочную группу и получать различные низкоэнергетические предсказания. (Орбиобразия, вероятно, являются специальными пределами пространств Калаби-Яу, хотя здесь не все еще ясно.)

Начнем, однако, с взятия предела нулевого наклона теории, редуцирующего ее к десятимерной супергравитации, взаимодействующей с теорией -супер-Янга-Миллса (см. приложение), и сделаем некоторые достаточно обоснованные предположения о схеме нарушения симметрий. Канделас, Горовиц, Строминджер и Виттен [1, 2] сделали следующие предположения о пределе нулевого наклона:

(1) 10-мерная вселенная компактифицирована к прямому произведению 4- и -мерной вселенных:

где многообразие является максимально симметричным пространством, т. е.

а К является компактным многообразием. (Предположение о том, что четырехмерное многообразие максимально симметрично, приводит к тому, что оно должно быть пространством де Ситтера, анти-де Ситтера или Минковского.)

(2) Локальная суперсимметрия остается ненарушенной и выживает при компактификации.

(3) Некоторые бозонные поля можно положить равными нулю:

Второе предположение об суперсимметрии является особенно важным, поскольку оно налагает нетривиальные ограничения на структуру многообразия Если суперсимметрия не нарушена, то генератор суперсимметрии должен зануляться на векторе вакуума (см. (9.8.4)). Вариация фермионного поля относительно преобразования суперсимметрии дается формулой

Значение вакуумного среднего для этого уравнения равно нулю, если Чгоерсимметрия сохраняется (поскольку уничтожает вакуум):

Однако в классическом пределе вариация фермионного поля и значение вакуумного среднего совпадают:

Таким образом, если суперсимметрия остается ненарушенной при компактификации, то вариация фермионных полей должна равняться нулю:

Это в свою очередь налагает нетривиальные ограничения на параметр суперсимметрии . Первоначально был произвольным спинорным полем. Однако требование точности суперсимметрии означает, что мы должны выбрать подмножество в бесконечном множестве всех допустимых 8 так, чтобы суперсимметрия сохранялась.

Вариация полей десятимерных фермионов (см. приложение) имеет вид [3]

где латинские буквы с являются индексами -мерного пространства и мы опускаем более высокие по степеням четырехфермионные члены взаимодействия. Кроме того, выполняется тождество Бьянки:

Теперь наложим второе и третье условия, которые приведут к ограничениям на наш параметр . Вариации полей редуцируются к

Эти уравнения являются в высшей степени нетривиальными ограничениями для исходной теории, особенно первое утверждение о ковариантном постоянстве спинора . В частности, это налагает очень жесткие ограничения на спиновую связность, задающую ковариантную производную на многообразии, и, следовательно, на само многообразие.

Первое уравнение в (11.1.10), например, утверждает, что парал лельное перенесение спинора на некоторое расстояние оставляет этот спинор неизменным. Более того, можно выполнить два таких перемешения, а также обойти вокруг замкнутого пути (см. приложение). пример, если мы продифференцируем (11.1.10) еще раз, то получим

вариацию спинора при перенесении по замкнутому контуру. Имеем

Это означает, что спинор остается неизменным при перенесении по замкнутому пути. Это в свою очередь подразумевает, что многообразие X является риччи-плоским:

Условие (11.1.12) важно, в частности, из-за того, что при его выполнении метрический тензор описывает плоское четырехмерное пространство Минковского. Тем самым пространства де Ситтера и анти-де Ситтера из рассмотрения исключаются.

Возьмем теперь произвольный спинор и перенесем его параллельно вдоль замкнутой кривой. Из приложения следует, что после такого перенесения спинор принимает вид

где площадь поверхности внутри замкнутого пути пропорциональна Значит, спинор просто поворачивается по сравнению со своим первоначальным направлением, причем матрица вращения пропорциональна тензору кривизны, который выражается через коммутатор двух сдвигов:

где

Теперь давайте возьмем последовательно несколько замкнутых путей, каждый из которых начинается и заканчивается в одной и той же точке. Вообще говоря, всякий раз, когда мы проходим произвольное число замкнутых путей с фиксированной точкой, мы получаем небольшой Поворот исходного спинора. Следовательно, множество всех таких вращений образует группу:

Эта группа называется группой голономии.

Применим теперь этот результат к нашему специальному случаю. Для многообразия спиновая связность, описывающая параллельный Перенос спиноров, является калибровочным полем для группы Преобразующийся относительно О (6) спинор имеет -компонент. Однако мы знаем, что

Таким образом, 8 компонент спинора группы могут быть перегруппированы в соответствии с действием группы как

При действии группы эти два четырехкомпонентных объекта преобразуются как спиноры противоположной киральности. Можно считать, что спинор 8 имеет положительную киральность. Это устраняет половину компонент, так что преобразуется по фундаментальному представлению 4 группы

Изучаемый спинор, однако, не является произвольным, а удовлетворяет условию

которое означает, что

т. е. спинор остается неизменным при переносе по замкнутому пути.

Вопрос теперь заключается в следующем: каждая подгруппа группы оставляет инвариантным пространство 4 представления группы Ответ хорошо известен, он взят непосредственно из теории хиггсовского нарушения симметрии. При этом мы также хотим получить ответ на вопрос: какова максимальная группа, оставляющая постоянный спинор или вектор неизменными?

Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что при помощи преобразований группы всегда можно привести спинор 8 к виду

До сих пор мы фактически ничего не сделали. Мы просто взяли произвольный спинор и привели его к указанному виду при помощи вращений из группы Но теперь очевидно, что максимальной группой оставляющей такой спинор неизменным, является подгруппа комплексных -матриц в образующих группу Заметим, что при этом матрица выбирается в блочно-диагональном виде:

Теперь уравнение удовлетворяется тривиально. Важно отметить, что наш результат имеет весьма общий характер. Специальный вид № 8 мы выбрали только для того, чтобы наглядно продемонстрировать этот общий результат, не зависящий от вида 8.

В заключение отметим, что существование ковариантно постоянного спинора редуцирует группу голономии от Таким образом» в качестве группы голономии имеет группу

Логическая цепочка, по которой мы следовали, может быть записа следующим образом:

Это важный, но довольно бесполезный результат. Очень мало известно о многообразиях с голономией На самом деле в явном виде ничего не известно. Поэтому эта важная информация не может быть использована для вывода феноменологических следствий. Однако надежда на это все же остается, поскольку мы пока еще не исчерпали всю информацию, которая может быть извлечена из наших предположений.

Мы далеко не исчерпали все те возможности, которые существуют при наличии в теории ковариантно постоянного спинора. Всегда можно, например, построить из спинорного поля объект, преобразующийся при преобразовании координат пространства как тензор:

Используя несколько спинорных тождеств, можно показать, что

Если на многообразии можно задать тензор отображающий любое касательное пространство в себя и удовлетворяющий уравнению то говорят, что многообразие является почти комплексным. (В двух измерениях это утверждение тривиально и говорит просто о существовании числа такого, что Если спинор ковариантно постоянен, то тензор становится очень интересным объектом. Например, дифференцируя, мы получаем

Это означает, что метрика, кроме того, что она риччи-плоская, является также кэлеровой. (Эти термины будут определены ниже.) Наконец, можно определить один-форму

где - символы Кристоффеля. Находим, что эта форма удовлетворяет

откуда следует обращение в нуль первого класса Черна:

В итоге, восстанавливая логику наших предположений, имеем

Большое преимущество этого нового результата заключается в том, что известно много риччи-плоских кэлеровых многообразий с нулевым первым классом Черна. Использование кэлеровых многообразий этого типа более предпочтительно, нежели малоизученных многообразий с группой голономии

При этом остается нерешенным вопрос о связи между этими двумя типами многообразий. К счастью, Калаби сформулировал поззке доказал) утверждение [4-6]:

Теорема (Калаби-Яу). Кэлерово многообразие с нулевым первым классом Черна всегда допускает кэлерову метрику с группой голономии

Таким образом, используя теорему Калаби-Яу, можно получить (по крайней мере в принципе) тысячи шестимерных многообразий, пригодных для феноменологических целей.

Для того чтобы явно построить такие многообразия Калаби-Яу, важно сначала дать обзор некоторых элементарных фактов из алгебраической геометрии и теории когомологий. Сделаем сейчас отступление и обсудим некоторые простые свойства кэлеровых и риччи-плоских метрик на языке когомологий. Мы увидим, что многие результаты теории когомологий могут быть прямо введены в феноменологию теории суперструн.