§ 6.7. ЧЕТЫРЕХСТРУННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

Предшествующие интуитивные соображения привели нас к утверждению о существовании четырехструнного взаимодействия [1], в котором две струны могут взаимодействовать в своих внутренних точках и мгновенно изменять локальную топологию. На первый взгляд существование соответствующей диаграммы в рамках метода функций Неймана не представляется очевидным, так как верхняя полуплоскость всегда преобразовывалась в планарную конфигурацию. Однако присутствие членов четырехструнного взаимодействия в амплитуде Венециано можно увидеть, тщательно проверив область интегрирования переменных Кобы-Нильсена.

Мы начинаем с четырехструнного отображения и полагаем Тогда это отображение приобретает вид

Для того чтобы найти его сингулярность, положим

Решение этого уравнения дает точки поворота для нашего преобразования:

где

Как правило, два решения уравнения для точек поворота, определяемые знаками квадратного корня, показывают, что на римановой повер ности существуют две точки поворота, обладающие по отношению друг к другу свободой движения. В и -канальных диаграммах мировые поверхности струн гладко деформируются друг в друга. Однако, когда в -плоскости у двух точек взаимодействия совпадают мнимые части, происходит интересная вещь.

Рис. 6.5. Четырехструнное взаимодействие. Невозможно непрерывно продеформировать и -канальные четырехструнные диаграммы рассеяния друг в друга, если использовать только трехструнные вершины. Непрерывность конформного преобразования означает наличие потерянного куска в области интегрирования, который обеспечивается только введением нового четырехструнного взаимодействия.

Изучим, например, фейнмановские диаграммы для и -канального рассеяния четырех частиц (см. рис. 6.5). Видно, что эти две диаграммы не могут быть переведены друг в друга гладким образом. Струны сходятся или вблизи верхней, или вблизи нижней части диаграммы, поэтому не существует способа непрерывной деформации одной такой Диаграммы в другую. Но это невозможно. Конформное преобразование по определению было гладким, что позволило нам непрерывно переходить от к -каналу и наоборот. Другими словами, часть области интегрирования теряется. Чтобы увидить это, вычислим момент встречи и -канальных диаграмм. Положим А равным нулю и решим полученное уравнение для

Два решения отвечают и -канальным точкам поворота. Интервал дает нам одну диаграмму, интервал но что можно сказать об области между ними? Это недостающий кусок. Он соответствует непрерывному преобразованию от графа одного к графу другого канала, при котором происходит только мгно-Деформация локальной топологии двух графов (см. рис. 6.6). Вуказанной промежуточной области локальная топология четырех стркн изменяется так, что струны соединяются в другой последовательности.

(кликните для просмотра скана)

В этом и состоит графическое доказательство того факта, что четырехструнное взаимодействие, которое мы постулировали выше, действительно есть часть формулы Венециано (для и -канальных графов). Без этого недостающего куска полевая теория струн и в самом деле является неполной, а также нарушает конформную инвариантность другие свойства -матрицы.

Следовательно, четырехструнное взаимодействие требует дополнительного интегрирования по Это похоже на «застежку-молнию», дозволяющую локально изменять топологию четырех струн. На первый лзгляд кажется, что это взаимодействие происходит со сверхсветовой скоростью. В конце концов, оно мгновенно во времени, так как интегрирование по производится мгновенно. Кажется, что мы нарушаем постулат локальности, наложенный нами первоначально для вывода корни, подчиняющейся принципу причинности.

Решение этой головоломки заключается в том, что четырехструнное взаимодействие представляет собой аналог кулоновского члена взаимодействия, возникающего в теориях Янга-Миллса при квантовании вкулоновской калибровке или в калибровке светового конуса. В кулоновской калибровке поле появляется в квадратичной комбинации и линейно при взаимодействии с фермионами вида Функциональным интегрированием по находим

что представляет собой четырехфермионный кулоновский член. Отметим, что - «мгновенный» оператор (т. е. не зависит от времени). Кажется, что такой член нарушает принцип относительности. Однако в Действительности условие причинности полной -матрицы строго выполняется даже в присутствии этого члена, являющегося артефактом фиксации калибровки.

Итак, интегрирование по «застежке-молнии» согласуется со специальной теорией относительности, кажущееся нарушение которой оказывается иллюзией. Фактически в рамках геометрической теории струн, воженной в гл. 8, можно показать, что ковариантный четырехструнной член взаимодействия представляет собой в точности кулоновский найденный в нерелятивистском квантовании. Таким образом, никаких противоречий со специальной теорией относительности нет.

Выпишем теперь вклад четырехструнного взаимодействия в действие левой теории. Подчеркнем, что член четырехструнного взаимодействия можно угадать, исходя из условия локальности, но, как мы видели, оказывается согласованным с амплитудой Венециано. Этот член взаимодействия есть [1]

где -мера и

где

и

Хотя четырехструнное взаимодействие можно вычислить точно, попытки его обобщения к полной -точечной амплитуде оказываются безнадежными. Кажется неизбежным проводить утомительную проверку сотен возможных диаграмм, составляющих амплитуду. Однако существует удобный прием, который резко упрощает эту проблему.

Сначала заметим, что если мы разместим внешние электрические заряды на круглом диске, то нарисовать эквипотенциальные линии в диске не составляет труда. Ключевое наблюдение, однако, состоит в том, что конформное отображение переводит эти эквипотенциальные линии в вертикальные линии на диаграмме светового конуса. Следовательно, топология эквипотенциальных линий должна воспроизводив точную топологию взаимодействующих открытых и замкнутых струн. Это замечательное наблюдение сводит кажущуюся безнадежной к относительно простой проблеме изображения эквипотенциальных линий для диска с внешними зарядами.

Например, мы знаем, что но нам также известно, что электростатический потенциал в двумерии в точке создаваемый совокупностью точечных зарядов в определяется к

т. е. мы можем интерпретировать как электростатический потенциал точечных зарядов Таким образом, линии равного потенциала есть в точности линии равного т. Но струны, распространяющиеся вдоль манделстамовской полосы, описываются вертикальными линиями одинакового т. Поэтому эквипотенциальные линии на конформной поверхности, создаваемые зарядами а, соответствуют физической эволюции взаимодействующих струн.

Из рис. 6.6 очевидна необходимость существования четырехструнной зершины также и в формализме светового конуса. Фактически посредством анализа эквипотенциальных диаграмм можно показать, что в континуальный интеграл нужно добавить ровно пять различных членов, описывающих взаимодействие. Обратим внимание на взаимодействия замкнутых струн, появляющиеся из сектора открытых струн как «связанные состояния». Мы видим, что лагранжиан взаимодействия должен быть суммой всех пяти различных членов.