§ 2.3. КВАНТОВАНИЕ В КАЛИБРОВКЕ СВЕТОВОГО КОНУСА

Выбор калибровки светового конуса, в которой все нефизические степени свободы явным образом устранены с самого начала, возможен потому, что у нас есть две калибровочных степени свободы, и, следовательно, два фиксирующих калибровку условия можно включить в наш континуальный интеграл. Одна из этих фиксирующих калибровку связей - устранение нефизических мод из гильбертова пространства, как в кулоновской калибровке. Так, устранение духовых состояний, весьма сложное для формализма Гупты-Блейлера (как мы увидим в конце этой главы), становится тривиальным в калибровке светового конуса.

Выберем обозначения

Тогда

В зависимости от того, какой вид действия в (2.1.41) мы выберем, мы получим разные калибровочные ограничения. Если начать с исходной формы действия Намбу-Гото, например, то калибровочные условия в континуальном интеграле суть

где М - фактор меры, который должен быть добавлен, чтобы теория была унитарной, а две дельта-функции представляют фиксирующие калибровку связи. Замечательная особенность второго ограничения - то, что действие Намбу-Гото, выраженное высоконелинейным квадратным корнем, полностью линеаризуется [12]:

(Поскольку в формализме светового конуса действие не содержит уже квадратного корня, у нас есть действие с хорошим поведением, которое можно квантовать каноническим способом.)

Связь означает, что зависимость от от в полностью исчезла и что «время» теперь идет синхронно с Мы можем в свою очередь использовать вторую связь для устранения мод и таким образом все продольные моды полностью исчезнут. Действие можно теперь целиком выразить через поперечные моды.

Теперь найдем связь для первой формы действия в (2.1.41). Проинтегрируем по множителям Лагранжа и X в гамильтоновой форме действия, а затем наложим связи, фиксирующие калибровку:

Поскольку ковариантный гамильтониан (2.1.13) равен нулю, то в лагранжиане останется только член (член выпадает):

Этот формализм обладает несколькими замечательными чертами. Во-первых, мы можем наложить четыре, а не две связи на гильбертово пространство: две фиксирующих калибровку и еще две, проинтегрировав по X и Во-вторых, поскольку ковариантный гамильтониан равен нулю, действие содержит только но из разложения выражения (2.3.6) возникает гамильтониан, записанный в координатах светового конуса:

С другой стороны, мы можем решить уравнение связи относительно переменной

Подставляя значение в уравнение (2.3.7), определяющее конусный гамильтониан, получаем

что в точности совпадает с гамильтонианом (2.2.12), определенным для физических поперечных мод.

Аналогично мы можем устранить моды решая другое уравнение связи

относительно переменной что дает

Соберем все вместе. Наш функционал теперь примет вид

где Н — плотность гамильтониана в конусных переменных. Большое преимущество конусной калибровки состоит в том, что связи Вирасоро разрешены в явном виде, так что нет необходимости налагать их на состояния. Все «плюсовые» моды устраняются этой калибровкой с самого начала, а «минусовые» выражаются через поперечные состояния, поскольку условия Вирасоро разрешаются в явном виде посредством (2.3.8) и (2.3.11). Вместо наложения условий Вирасоро на гильбертово пространство, мы просто решаем их явным образом и устраняем минусовые моды.

Однако большой недостаток этого формализма - то, что нам придется выполнять утомительную проверку лоренц-инвариантности на каждом шаге вычислений. Обычно генераторы группы Лоренца даются формулой

С помощью (2.2.7) легко проверить, что эти выражения удовлетворяют правильным коммутационным соотношениям для группы Лоренца:

Однако лоренц-инвариантность придется проверять заново, так как мы явным образом устранили все духовые моды. Большая часть коммутаторов проверяется тривиально, поскольку они линейны. Трудности связаны с членом, содержащимся в эта переменная сильно нелинейна и записывается в виде

где

и а есть интерсепт. Все коммутаторы легко вычисляются, кроме одного, содержащего Это длинное и требующее аккуратности вычисление приводит к следующему окончательному результату:

Здесь

Чтобы этот коммутатор обратился в нуль, должно иметь место

Эти равенства фиксируют и размерность пространства-времени и интерсепт а данной модели.