§ 4.6. СПИНОРЫ И ДЕРЕВЬЯ

Чтобы вычислить древесные амплитуды, необходимо построить явное представление спиновых полей через (-операторы. Хотя эти поля в формализме Грина-Шварца были сильно взаимодействующими операторами, в конформной теории поля (и это большое ее преимущество) взаимодействующее спиновое поле действительно может быть выражено через свободные поля, что позволяет вычислять корреляционные функции в явном виде.

Мы построим спиновое поле из генераторов -алгебры, которые в свою очередь составлены из -алгебра - это алгебра Ли ранга 5 (см. Приложение). Это значит, что из генераторов -алгебры 5 взаимно коммутируют, образуя подалгебру Картана. Коммутационные соотношения между этими пятью коммутирующими генераторами и 40 некоммутирующими элементами суть

Последнее тождество справедливо, если есть повышающий или понижающий оператор. Каждое а - это корневой вектор группы Компоненты суть структурные константы группы, подчиняющиеся различным условиям симметрии и ассоциативности.

Теперь введем пять взаимно коммутирующих полей и выразим через них 45 генераторов -алгебры. Можно представить пять взаимно коммутирующих элементов -алгебры в виде

чтобы представить остальные 40 генераторов, запишем

где Р матрица, посредством которой корневой вектор а представляется линейная комбинация векторов

Учтем также перестановки в этом выражении. Заметим, что имеется зрхыре возможные комбинации знаков « + » и « - » в этой формуле и 10 способов размещения этих знаков по пяти позициям в ней. Итак, матрица Р содержит 40 элементов. Каждая позиция соответствует одному из полей

Назначение множителя в - обеспечить выполнение правильных коммутационных соотношений. Если подставить эти выражения в определение алгебры, то выяснится, что мы должны положить

Требование ассоциативности коммутаторов дает соотношение

Одно из многих возможных представлений этих двух коциклов есть

где

(см. [9, 10], где описаны другие представления).

Можно также представить антикоммутирующее векторное поле NS-модели с помощью вышеописанной процедуры бозонизации. Запишем

где

и в последнем выражении допускаются перестановки. Матрица содержит элементов, что равно числу элементов векторного поля

Теперь выразим спиновое поле посредством этой бозонизированной картины. Определим матрицу

Заметим, что она содержит элемента. Определим

Это поле имеет правильное число компонент для десятимерного спинора. Кроме того, его вес равен 5/8, поскольку каждый из составляющих его множителей имеет вес 1/8 и таких множителей пять, что составляет суммарно 5/8. Это подтверждает приведенное выше в (4.3,9) утверждение, которое основывалось исключительно на теоретико-групповых соображениях: спиновое поле имеет вес 5/8.

Поле имеет вес 3/8, а поле Итак, наща вершинная функция с весом 1 дается формулой

Теперь, располагая явным представлением спинового поля, можем вычислить матричные элементы фермион-фермионного рассеяния.

Вычислим амплитуду рассеяния четырех фермионов, представленную как произведение трех независимых факторов, включающих S

Мы положим

Вычислим каждый из этих факторов отдельно. Применив выведенную выше в гл. 2 формулу, найдем, что зависящие от переменной X множители равны

где

и сумма всех равна нулю.

Теперь найдем вклад духов, который равен

Наконец, вклад спинового поля равен

Собирая все вместе, получаем

Переписав эту амплитуду, окончательно получаем

Эти вычисления, как и другие, включающие -точечные амплитуды рассеяния фермионов, не столь трудны в рамках конформной теории поля [9, 10], но были бы чрезвычайно трудны в прежних ковариантных формализмах