§ 3.8. КВАНТОВАНИЕ ДЕЙСТВИЯ ГРИНА-ШВАРЦА В КОНУСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Подсчет числа независимых степеней свободы спиноров важен при фиксации калибровки. В общем случае дираковские спиноры в -мерном пространстве четно) имеют комплексных компонент. Поэтому спиноры в десятимерном пространстве имеют комплексных компонент. Однако если потребовать, чтобы они были майорановскими спинорами, у нас останется вдвое меньше: вещественных компонент. Требуя, чтобы они были вейлевскими спинорами, снова уменьшаем их число еще вдвое, до вещественных компонент. Выбор калибровки светового конуса уменьшит число независимых компонент до вещественных компонент. Наконец, когда мы переходим к массовой поверхности и налагаем на эти спиноры уравнение Дирака, число независимых компонент снова уменьшается вдвое, восьми. Но это в точности совпадает с числом компонент, необходимым для образования супермультиплета с восемью бозонными компонентами струны Итак, мы располагаем именно тем числом компонент,

которое необходимо для выполнения условия суперсимметрии на кассовой поверхности. Если -число компонент спиноров то у нас имеются:

Дираковские: комплексных компонент,

Майорановские: вещественных компонент,

Майорана-вейлевские: вещественных компонент, Конусная калибровка: вещественных компонент,

На массовой поверхности: вещественных компонент.

Теперь приступим к этой редукции до калибровки светового конуса. Выберем следующие калибровочные связи:

Поскольку для этих Г-матриц справедливы тождества

то это означает, что ровно половина исходных компонент указанных спиноров устраняется. Окончательное выражение для действия в калибровке светового конуса становится замечательно простым:

Здесь сделана подстановка

Здесь важно отметить, что все сложные нелинейные члены в (3.7.1), препятствовавшие простому ковариантному квантованию суперструны, теперь исчезли. (Заметим, что, кроме того, произошло удивительное явление. В ковариантном действии Грина-Шварца в двумерном пространстве были независящими друг от друга скалярами. Теперь, в калибровке светового конуса, эти два независимых скаляра слились в один двумерный спинор.)

Квантование исключительно просто, потому что система свелась к системе свободных частиц (тогда как ковариантная теория включала Взаимодействия). Уравнения движения - это уравнения для свободных струн:

Коммутационные соотношения суть

Однако, как и прежде, мы можем наложить разные граничные условия

на эти поля. Для открытой струны (тип I) имеем следующие граничные условия:

Заметим, что эти два струнных поля обладают одинаковой моральностью Причина в том, что только эти соотношения совместимы с глобальным преобразованием суперсимметрии, которые приравнивает два суперсимметричных параметра Это означает, что открытая струна типа I имеет только суперсимметрию с (Обращение знаков в предыдущем уравнении, дающее противоположные киральности, сделало бы суперсимметрию совершенно невозможной. Такой выбор действительно делается в другом варианте теории струн, а именно в теории Разложение по нормальным модам поэтому имеет вид

где

Для замкнутой струны (тип II), однако, у нас действительно есть две возможности: поля могут быть либо киральными, либо нет. Замкнутые струны по определению периодичны по параметру от, что дает следующие разложения по нормальным модам:

Если эти два поля имеют противоположные киральности, их называют полями типа Если у них одинаковая киральность, совпадающая с киральностью струн типа I, то их называют полями типа

Спектр суперструны в конусной калибровке особенно привлекателен тем, что на массовой поверхности теория суперсимметрична, а это означает, что все частицы сразу оказываются упорядочены таким образом, что спиральные состояния бозонов соответствуют числу фермионов. Масса каждой частицы определяется гамильтонианом:

Для струны типа I основное состояние теории состоит из безмассовой векторной частицы и ее спинорного партнера. Пусть представляет восемь физических поперечных поляризаций безмассового векторного поля. Тогда спинорный партнер этого поля может быть представлен в виде

Можно нормировать наши состояния следующим образом:

здесь -вейлевский оператор проектирования. (Будем использовать следующее обозначение: равно произведению Г-матриц, просуммированному по всем перестановкам индексов. Нормировка такова, что

Если бы мы квантовали десятимерную супермаксвелловскую теорию в калибровке светового конуса, то суперсимметричной паре соответствовал бы

Суперсимметричный мультиплет:

Таким образом, конусная теория воспроизводит супермаксвелловскую теорию на самом нижнем уровне.

На следующем уровне у нас будет 128 бозонных и 128 фермионных состояний:

На уровне имеется 1152 бозона и столько же фермионов:

Эту процедуру можно повторить на следующем уровне, на котором у нас будет 15 360 состояний.

Неудивительно, что можно перегруппировать эти массивные мультиплеты также и в соответствии с группой Причина состоит в том, что безмассовая -мерная супергравитация после компактификации дает массивных состояний. Так, сектор содержащий 128 бозонов и 128 фермионов, можно перегруппировать в виде бозона в неприводимых представлениях группы и одного -мультиплета для фермионов со спином 3/2. На уровне бозоны перегруппируются в виде представлений группы тогда как фермионы будут перегруппированы в виде

Для замкнутой струны типа II спектр становится даже еще более интересным, поскольку мы получаем супергравитацию на безмассовом уровне, содержащем 128 бозонов и 128 фермионов:

где первое состояние относится к -осциляторам, а второе - к -осцилляторам. Если фермионы обладают противоположной киральностью (тип то это представляет -редукцию обычной супергравитации.

Однако если струнные поля для фермионов имеют одинаковую киральность, то возникают осложнения. Такая теория содержит десятимерный антисимметричный тензор четвертого ранга с 35 независимыми компонентами в восьмимерном пространстве. Было показано, что для такой частицы никакого ковариантного действия не существует! Тем самым мы сталкиваемся с необычной ситуацией, в которой для этого сектора не существует суперсимметричного действия. Теория, разумеется, остается корректно определенной. Ее

формулировка в калибровке светового конуса и элементы -матрицы вычислимы в явном виде. Однако -матрица, строго говоря, видимо, не доводится из ковариантного действия [33].

Наконец, если мы ограничимся симметризованными состояниями дории типа I, мы получим супергравитацию с Подытожим предельные формы этих теорий при нулевом наклоне реждевской траектории:

Тип супер-Янг-Миллс,

Тип супергравитация,

Тип супергравитация,

Тип не существует.

При переходе к более высоким уровням становится все труднее продолжать этот анализ спектра для демонстрации суперсимметрии. Мы можем доказать, однако, что весь спектр, при сколь угодно высоких порядках, суперсимметричен, просто показав, что существуют генераторы суперсимметрии с коммутационными соотношениями, коммутирующие с гамильтонианом. Мы покажем это, в явном виде вычислив генераторы суперсимметрии во всех порядках.

В калибровке светового конуса два суперсимметричных преобразования становятся весьма простыми:

(См. представление Г-матриц в приложении. Существует 8 представлений группы Первое из них - векторное представление которое мы обозначим индексом Два других представления являются спинорными. Мы будем использовать для одного из них индекс а, а для второго - индекс а. Таким образом, индексы Г-матрицы преобразуются как Можно найти явный вид двух генераторов суперсимметрии, выраженных через поля; он воспроизводит преобразования, даваемые Формулой (3.8.21):

Теперь вычисление антикоммутационных соотношений между этими генераторами несложно:

Здесь

Доказательство лоренц-инвариантности теории в конусной калибровке теперь нужно расширить до доказательства супер-Пуанкаре инвариантности суперструны. Кроме обычных коммутаторов мы должны показать, что

где Р представляют спинорные индексы в десятимерии. Снова трудности возникают только с коммутатором, содержащим минусовые компоненты осцилляторов:

Вызывающий трудности коммутатор содержит дополнительный член:

Поскольку теория уже однозначно определена как десятимерная, мы находим

Кроме того, мы находим также коммутатор для группы супер-Пуанкаре:

Этим завершается доказательство того, что спектр модели Грина-Шварца обладает десятимерной суперсимметрией на всех уровнях.