§ 6.9. РЕЗЮМЕ

Ранее предполагалось, что полевая теория протяженных объектов невозможна по двум основным причинам:

(1) Попытки Юкавы, Гейзенберга и других показали, что всякое отклонение от принципа локальности в квантовой механике влечет за собой нарушение принципа причинности. Возбуждение в одной точке капли распространялось бы через нее со скоростью, большей скорости света.

(2) Теория не воспроизводила бы модель Венециано, потому что циклическая симметрия и многие другие свойства бета-функции сохраняются только на массовой поверхности, тогда как действие определяется вне массовой поверхности.

(3) Теория не могла бы быть одновременно лоренц-инвариантной и унитарной вне массовой поверхности, поскольку процедуры квантования для струн, которая обеспечила бы и лоренц-инвариантность, И унитарность вне массовой поверхности, не существует.

(4) Более того, в струнной теории полевая теория представлялась Невозможной из-за проблемы «двойного счета», обусловленной Дуальностью. Дуальные диаграммы уже сами представляют собой суммы по и -канальным полюсам, и, следовательно, сложение

диаграмм с полюсами в каждом из различных каналов привело бы к многократному учету одних и тех же слагаемых, в особенности для многопетлевых диаграмм.

К счастью, полевая теория струн справляется со всеми этими проблемами. Первая проблема - нелокальность - разрешается введением мультилокальной теории. Таким образом, изменения в струнной топологии происходят только локально, т. е. струны могут разрываться или соединяться только в одной точке внутри струны или на их концах. Возбуждения от места разрыва распространяются со скоростью, равной или меньшей скорости света (мы пренебрегаем кулоновскими эффектами в калибровке светового конуса).

Полевая теория струн решает также и вторую проблему. Она действительно нарушает некоторые важные свойства модели Венециано но тем не менее остается приемлемой, поскольку воспроизводит ее на массовой поверхности.

В-третьих, программа BRST-квантования является лоренц-инвариантной, но за это приходится расплачиваться введением духов, нарушающих унитарность вне массовой поверхности. Тем не менее окончательная S-матрица унитарна, так что ни один физический принцип не нарушается.

Наконец, полевая теория струн решает проблему дуальности посредством явного нарушения дуальности. Правильные дуальные диаграммы дает только сумма всех фейнмановских графов. Следовательно, на любой промежуточной стадии вычислений дуальность действительно отсутствует.

На протяжении всей книги мы подчеркивали, что вторично квантованный формализм позволяет вывести всю модель целиком, исходя лишь из одного действия. В частности, формализм светового конуса дает такую интерпретацию фейнмановского ряда, в которой струнная картина вполне ясна. В калибровке светового конуса мы используем простейшее ограничение, заключающееся в том, что взаимодействия должны быть локальными, т. е. струны могут либо разрываться, либо соединяться в изолированных внутренних точках струны или на ее концах. Это однозначно фиксирует в действии все члены взаимодействия. В частности, имеются члены, включающие четырехструнное взаимодействие.

Начнем вывод теории тем же способом, каким Фейнман получил уравнение Шрёдингера из классической механики. Мы используем фундаментальное соотношение

где

Все эти соотношения можно доказать, просто подставляя различные наборы промежуточных состояний между начальным и конечным состояниями:

Полевой функционал не есть функция ст. Он является функционалом струнной переменной X, определяемой на области изменения :

Простейшим образом эта функция раскладывается по базисным состояниям, образованным всеми возможными элементами фоковского пространства:

Так как Ф удовлетворяет струнному уравнению Шрёдингера, можно разложить полевой функционал по собственным функциям этого уравнения:

Отметим, что А является оператором рождения уничтожения всех возможных состояний струны, поэтому он соответствует бесконечнокомпонентной полевой теории. Наложение стандартных канонических коммутационных соотношений заставляет нас выбрать

Теперь можно разложить полевой функционал Ф по этим собственным

Функциям:

Мы можем воспроизвести все тождества, найденные в полевой теории. В частности, можно показать, что функция Грина представляет собой матричный элемент двух полей:

Взаимодействия однозначно определяются нашим правилом, согласно которому локальная топология может изменяться только локально Таким образом, трехструнная вершинная функция определяется дельтафункцией:

К счастью, интегрирование по струнам оказывается гауссовским и может быть выполнено до конца. В результате интегрирования находим

где

а

Теперь нам нужно показать, что эта вершинная функция способна воссоздать обычную модель Венециано. Простейший способ увидеть это заключается в том, чтобы вычислить функцию Неймана для трехструйной конфигурации в первично квантованном формализме и затем сравнить результаты. Отправной точкой служит преобразование делстама:

Так как нам известна функция Грина в верхней полуплоскости, просто берем фурье-компоненты неймановской функции,

фурье-коэффициенты выглядят как

Теперь подставим в данную формулу функцию Неймана, определенную верхней полуплоскости, и прямым вычислением получим

где

Рассмотрим теперь вопрос о суперструнах в GS-формализме светового конуса. Теперь имеется два набора осцилляторов, бозонные и фермионные. Наша основная стратегия состоит в угадывании анзаца для вершинной функции и подчинении его условиям непрерывности при перекрытии взаимодействующих струн. Основываясь на аналогии с бозонной теорией, мы полагаем

где

в гл. 3 было показано, что первично квантованные суперсимметричные генераторы удовлетворяют коммутационным соотношениям

Мы должны показать, что вторично квантованные варианты этих генераторов суперсимметрии также удовлетворяют данным соотношениям.

Возьмем анзац

Замечательно, что всем условиям, наложенным на вершинную функцию можно удовлетворить, выбрав

По поводу этой вершины можно упомянуть, что от нее еще требуется выполнение условия локальности. Дополнительные вставки с У и Z присутствуют только в точке разрыва струны, поэтому локальность сохраняется. Итак, наша общая трактовка теории в формализме светового конуса согласуется с изначально постулированным принципом локальности.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)