Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 11.6. ПОКОЛЕНИЯ ФЕРМИОНОВОдним из наиболее впечатляющих приложений алгебраической топологии к феноменологии теории струн является вычисление числа поколений непосредственно из топологических рассмотрений. Чтобы вычислить число поколений, предсказываемое теорией, мы сначала должны подсчитать число безмассовых частиц. Оператор Клейна-Гордона в 10-мерном пространстве для рассматриваемых частиц становится после компактификации суммой двух операторов Клейна-Гордона в 4 и 6 измерениях:
В общем случае
Нас интересует безмассовый сектор в четырех измерениях, поэтому мы хотим сохранить только нулевые собственные значения оператора
Это уравнение является важным, потому что имеет две интерпретации. Во-первых, оно означает, конечно, что четырехмерные фермионы безмассовы. Во-вторых, оно также означает, что
Естественно ожидать, что число поколений является топологическим инвариантом в силу теоремы Дирака об индексе. Мы знаем, что решения уравнения Дирака могут, вообще говоря, иметь нулевые моды:
Действительно, индекс этого оператора равен разности между числом нулевых мод положительной и отрицательной киральности:
Индекс оператора Дирака есть топологическая величина, определенная на спиновом многообразии, поэтому мы ожидаем, что он может быть связан с характеристическими классами, которые мы нашли ранее. Действительно, обсуждая
Но индекс оператора Дирака также равен числу поколений, поскольку мы будем рассматривать только фермионы одной фиксированной киральности. Таким образом, точное соответствие между числом поколений и индексом оператора Дирака, или эйлеровой характеристикой, дается равенством
Чтобы показать это, рассмотрим многообразие с
Кратность супергравитационного и янг-миллсовского мультиплетов может быть определена подсчетом числа допустимых гармонических форм. Это число в свою очередь связано с числами Бетти. Если мы сравним спиральность суперсимметричных пар с их кратностью, то найдем:
Если мы проанализируем сектор фермионов спина 72, данных представлениями (72, 0), то получим, что их число кратности таково:
Эта кратность, однако, слишком велика. Нам нужна только часть от этого числа, соответствующая представлениям 27 и 27 фермионов спина Ранее, в (11.5.5), мы нашли, что представление 248 для
Таким образом, число поколений равно
где Связь между числом поколений и эйлеровой характеристикой достаточно неожиданна, так как нет никаких оснований полагать, что между ними существует какая-либо взаимосвязь. Число поколений является функцией янг-миллсовской калибровочной группы Далее, мы хотели бы вычислить эйлерову характеристику и, следовательно, число поколений для ряда метрик Калаби-Яу. Выше мы показали, что подмногообразие многообразия Рассмотрим подмногообразие в
Можно показать, что для этого многообразия первый класс Черна равен нулю и что Пусть
обозначает многообразие, полученное приравниванием нулю к однородных полиномов степени
где
Таким образом, мы нашли только пять многообразий с нулевым первым классом Черна:
Следовательно, число поколений для каждого из этих многообразий неприемлемо велико! С точки зрения феноменологии это крайне нежелательно, так как в силу доводов теории нуклеосинтеза, космологии и требования асимптотической свободы в КХД мы знаем, что необходимо очень малое число поколений - три или четыре. К счастью, мы можем еще редуцировать число поколений и сделать его намного меньше, рассматривая неодносвязные связные многообразия. Факторизуем исходное многообразие
где
Рассмотрим предыдущий пример подмногообразия в
Заметим, что этот полином инвариантен относительно следующих симметрий:
где
имеет 25 генераторов. Таким образом, эйлерова характеристика этого нового многообразия равна
что предсказывает четыре поколения. Существует много других типов моделей с приемлемо «низким» числом поколений:
Суть дела не только в том, что мы получили правильную феноменологию. Дело в том, что разумным выбором дискретной группы можно получить модель с приемлемо низким числом поколений. Необходимо подчеркнуть, что само существование киральных фермионов в теории суперструн весьма удивительно. В стандартных моделях типа теории Калуцы-Клейна, например, существуют серьезные препятствия к построению теории с киральными фермионами в четырех измерениях. Действительно, приемлемой суперсимметричной модели Калуцы-Клейна с киральными фермионами не существует. Поэтому замечательно, Что мы вообще можем получить какие-либо киральные фермионы в теориях суперструн. И наконец, выбор неодносвязного связного многообразия может вначале удивить, но оказывается, что этот выбор имеет другие феноменологически приемлемые характеристики.
|
1 |
Оглавление
|