§ 11.6. ПОКОЛЕНИЯ ФЕРМИОНОВ

Одним из наиболее впечатляющих приложений алгебраической топологии к феноменологии теории струн является вычисление числа поколений непосредственно из топологических рассмотрений.

Чтобы вычислить число поколений, предсказываемое теорией, мы сначала должны подсчитать число безмассовых частиц. Оператор Клейна-Гордона в 10-мерном пространстве для рассматриваемых частиц становится после компактификации суммой двух операторов Клейна-Гордона в 4 и 6 измерениях:

В общем случае имеет собственные значения, обозначаемые так что наше волновое уравнение принимает вид

Нас интересует безмассовый сектор в четырех измерениях, поэтому мы хотим сохранить только нулевые собственные значения оператора Следовательно,

Это уравнение является важным, потому что имеет две интерпретации. Во-первых, оно означает, конечно, что четырехмерные фермионы безмассовы. Во-вторых, оно также означает, что является гармонической формой в шести измерениях. Следовательно, число безмассовых мод в четырехмерии будет связано с числом гармонических форм, которые можно задать на шестимерном многообразии. Выше в (11.3.18) мы видели, что число гармонических форм степени равно числу Бетти. Таким образом, одни только топологические аргументы уже могут дать нам число поколений! Суммируем:

Естественно ожидать, что число поколений является топологическим инвариантом в силу теоремы Дирака об индексе. Мы знаем, что решения уравнения Дирака могут, вообще говоря, иметь нулевые моды:

Действительно, индекс этого оператора равен разности между числом

нулевых мод положительной и отрицательной киральности:

Индекс оператора Дирака есть топологическая величина, определенная на спиновом многообразии, поэтому мы ожидаем, что он может быть связан с характеристическими классами, которые мы нашли ранее. Действительно, обсуждая -голономию, мы нашли, что

Но индекс оператора Дирака также равен числу поколений, поскольку мы будем рассматривать только фермионы одной фиксированной киральности. Таким образом, точное соответствие между числом поколений и индексом оператора Дирака, или эйлеровой характеристикой, дается равенством

Чтобы показать это, рассмотрим многообразие с -голономией, с числами Бетти (Ходжа), имеющими два индекса Эйлерова характеристика может быть записана следующим образом:

Кратность супергравитационного и янг-миллсовского мультиплетов может быть определена подсчетом числа допустимых гармонических форм. Это число в свою очередь связано с числами Бетти. Если мы сравним спиральность суперсимметричных пар с их кратностью, то найдем:

Если мы проанализируем сектор фермионов спина 72, данных представлениями (72, 0), то получим, что их число кратности таково:

Эта кратность, однако, слишком велика. Нам нужна только часть от этого числа, соответствующая представлениям 27 и 27 фермионов спина

Ранее, в (11.5.5), мы нашли, что представление 248 для может быть разложено в (27, 3) и (27, 3). Можно показать, что кратность, связанная с каждым из этих двух представлений, равна

Таким образом, число поколений равно

где означает кратность представления 27. Но это число в свою очередь в точности равно половине абсолютного значения эйлеровой характеристики, как мы видели в (11.4.36).

Связь между числом поколений и эйлеровой характеристикой достаточно неожиданна, так как нет никаких оснований полагать, что между ними существует какая-либо взаимосвязь. Число поколений является функцией янг-миллсовской калибровочной группы в то время как эйлерова характеристика зависит от многообразия Трудно ожидать, что эти две величины могут находиться в соответствии друг с другом. Но связь между ними возникает в силу того, что мы совершаем вложение спиновой связности, которое нарушает калибровочную группу и устанавливает непосредственную связь между многообразием и калибровочной группой. Таким образом, суть этого важного результата является прямым следствием компактификации и вложения связности.

Далее, мы хотели бы вычислить эйлерову характеристику и, следовательно, число поколений для ряда метрик Калаби-Яу.

Выше мы показали, что подмногообразие многообразия снабженного кэлеровой метрикой, также кэлерово, так как оно имеет ту же самую эрмитову метрику Таким образом, мы хотим рассмотреть множество подмногообразии в имеющих нулевой первый класс Черна Этого можно достигнуть наложением связей на координаты потребовав, чтобы некоторые полиномы от были равными нулю.

Рассмотрим подмногообразие в заданное при помощи следующего уравнения связи:

Можно показать, что для этого многообразия первый класс Черна равен нулю и что равна —200.

Пусть

обозначает многообразие, полученное приравниванием нулю к однородных полиномов степени заданных на . К счастью, формула для полного класса Черна, а не только для первого класса Черна, для таких многообразий известна. Для (-голономии полный класс Черна равен

где некоторая -форма, полученная нормировкой кэлеровой формы в Разлагая эту формулу в ряд и приравнивая первый класс Черна нулю, находим к

Таким образом, мы нашли только пять многообразий с нулевым первым классом Черна:

Следовательно, число поколений для каждого из этих многообразий неприемлемо велико! С точки зрения феноменологии это крайне нежелательно, так как в силу доводов теории нуклеосинтеза, космологии и требования асимптотической свободы в КХД мы знаем, что необходимо очень малое число поколений - три или четыре.

К счастью, мы можем еще редуцировать число поколений и сделать его намного меньше, рассматривая неодносвязные связные многообразия. Факторизуем исходное многообразие по дискретной группе симметрий действующей на многообразии свободно (т. е. без неподвижных точек), получая в итоге многообразие М. Если число генераторов дискретной группы есть тогда эйлерова характеристика исходного многообразия, факторизованного по дискретной группе равна

где

Рассмотрим предыдущий пример подмногообразия в с

Заметим, что этот полином инвариантен относительно следующих симметрий:

где - корень пятой степени из единицы. Дискретная группа симметрии

имеет 25 генераторов. Таким образом, эйлерова характеристика этого нового многообразия равна

что предсказывает четыре поколения.

Существует много других типов моделей с приемлемо «низким» числом поколений:

Суть дела не только в том, что мы получили правильную феноменологию. Дело в том, что разумным выбором дискретной группы можно получить модель с приемлемо низким числом поколений. Необходимо подчеркнуть, что само существование киральных фермионов в теории суперструн весьма удивительно. В стандартных моделях типа теории Калуцы-Клейна, например, существуют серьезные препятствия к построению теории с киральными фермионами в четырех измерениях. Действительно, приемлемой суперсимметричной модели Калуцы-Клейна с киральными фермионами не существует. Поэтому замечательно, Что мы вообще можем получить какие-либо киральные фермионы в теориях суперструн.

И наконец, выбор неодносвязного связного многообразия может вначале удивить, но оказывается, что этот выбор имеет другие феноменологически приемлемые характеристики.