§ 1.2. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР КАЛИБРОВОЧНОЙ ТЕОРИИ

В шестидесятые годы казалось, что физика элементарных частиц беспомощно барахтается, запутавшись во множестве частных теорий. Каждый вид фундаментальных взаимодействий - слабое, электромагнитное, сильное и гравитационное - изучался отдельно, почти независимо от других. Кроме того, исследования всех этих взаимодействий натолкнулись на фундаментальные трудности:

(1) Слабые взаимодействия. Теоретические модели этих сил добавили разочаровывающе мало к теории Ферми, впервые предложенной тремя десятилетиями ранее в тридцатых годах:

где представляет различные комбинации матриц Дирака. Следующий крупный шаг, теория -бозонов, страдал от расходимостей. Кроме того, никто не знал, какая симметрия объединяет лептоны и есть ли она вообще.

(2) Сильные взаимодействия. В отличие от слабых взаимодействий, теория мезонов Юкавы дает перенормируемую теорию сильных взаимодействий:

Однако теория Юкавы не могла объяснить лавину «элементарных» частиц, без конца открываемых в экспериментах на ускорителях. Роберт Оппенгеймер даже предложил, чтобы Нобелевская премия по физике была присуждена тому физику, который не открыл в этом году новой частицы. Кроме того, модель кварков, которая, кажется, объясняет данные намного лучше, чем это можно каким-либо разумным образом понять, страдает от того факта, что кварки никогда не были обнаружены экспериментально.

(3) Сила тяготения. Изучение гравитационных сил было совершенно не связано с исследованиями других взаимодействий. Классический релятивистский подход позволял находить все новые классические решения независимо от физики элементарных частиц. Попытки канонически квантовать эту теорию были блокированы ее огромной избыточностью. Обескураживало также ощущение, что если даже теорию гравитации удастся успешно проквантовать, она все равно окажется неперенормируемой.

Этот унылый пейзаж драматически изменился в начале семидесятых годов с приходом «калибровочной революции». Одно из крупнейших

достижений последних пятнадцати лет - разработка полностью перенормируемой теории калибровочных частиц со спином 1, в которой физикам впервые удалось действительно вычислить реалистичные значения элементов -матрицы. Итак, потребовалось более 100 лет, чтобы продвинуться дальше исходной калибровочной теории, предложенной Максвеллом в 60-х годах прошлого века! (См. в приложении элементарное введение в калибровочные теории и теорию групп.)

Очевидно, что ключом к устранению расходимостей релятивистской квантовой механики должны служить более обширные и более сложно устроенные группы калибровочных преобразований. Симметрия перестает быть лишь эстетическим достоинством конкретной модели и становится ее наиболее важной чертой.

Например, уравнения Максвелла, ставшие первым объединением электрической и магнитной сил, имели калибровочную группу Объединение слабого и электромагнитного взаимодействий в электрослабое требует группы Силы, связывающие кварки в адроны, или квантовая хромодинамика основаны на группе Вся физика элементарных частиц в действительности совместима с минимальной теорией, обладающей симметрией

Хотя в отношении теорий Великого объединения (ТВО), которые, как предполагается, должны объединить электрослабое и сильное взаимодействия, вердикт еще не вынесен, но снова можно ожидать, что решение состоит в калибровочной симметрии; предлагаются группы и другие.

Хотя калибровочная революция является одним из важнейших достижений за целые десятилетия, ее все же недостаточно. Растет понимание того, что теория Янга-Миллса сама по себе не может продвинуть наше понимание физической природы Вселенной дальше нынешнего уровня. Дело не только в том, что различные ТВО не могут объяснить важные физические явления, но и в том, что есть настоятельная необходимость сформулировать квантовую теорию гравитации.

Прежде всего, необходимо заметить, что теории Великого объединения не могут быть последним словом в построении единой теории всех взаимодействий. ТВО обладают несколькими особенностями, по-прежнему оставляющими без удовлетворительного ответа важные вопросы. Они перечислены ниже.

(1) ТВО не могут объяснить, почему существуют три почти точные копии, или семейства, элементарных частиц. Мы по-прежнему не можем ответить на вопрос Рэби: «Кто заказал мюон?»

(2) ТВО все еще содержат около 20 произвольных параметров. Они не могут, например, вычислить массы кварков или различные константы теории Юкавы. Действительно, единая теория поля должна иметь самое большее один произвольный параметр.

(3) ТВО встречают трудности при решении проблемы иерархии. Если не прибегать к суперсимметрии, трудно сделать так, чтобы физика

частиц с невероятно большими массами не смешивалась с обычным диапазоном энергий, что привело бы к разрушению иерархии.

(4) Объединение межчастичных взаимодействий происходит на расстояниях порядка см, что очень близко к планковской длине см, где можно ожидать преобладания гравитационных эффектов. Однако ТВО вообще никак не учитывают гравитации.

(5) До сих пор не удалось получить достоверных данных о распаде протона, что уже исключило минимальную группу симметрии Тем самым нет экспериментальных подтверждений необходимости вводить такого рода теорию.

(6) Трудно поверить, что между доступными на сегодняшний день энергиями и масштабами, на которых происходит объединение, не будут обнаружены новые взаимодействия. Эта «пустыня» может оказаться полным полна новыми взаимодействиями, пока нам неизвестными.

С точки зрения фундаментальной науки, из всех этих проблем самая трудная и важная - найти способ квантования общей теории относительности Эйнштейна. Хотя теория Янга-Миллса добилась впечатляющих успехов в объединении известных законов физики элементарных частиц, законы тяготения удивительно отличаются от них на фундаментальном уровне. Ясно, что теория Янга-Миллса и обычная калибровочная теория неспособны справиться с этой проблемой. Итак, ТВО сталкиваются с серьезными экспериментальными и теоретическими трудностями при попытках расширить границы их применимости.

Общая теория относительности также наталкивается на подобные трудности при приближении к границам ее применимости. Они таковы.

(1) Классический подход установил, что решения уравнений Эйнштейна с необходимостью включают точечные сингулярности, в которых законы ОТО должны нарушаться. В этой области квантовые поправки должны доминировать над классической теорией.

(2) Действие не ограничено снизу, поскольку оно линейно зависит от тензора кривизны. Поэтому оно не может быть квантовомеханически устойчивым.

(3) Общая теория относительности не является перенормируемой. Компьютерные вычисления, например, однозначно показали, что в теории Эйнштейна существует ненулевой контрчлен на двухпетлевом уровне.

Наивные попытки квантовать эйнштейнову теорию тяготения окончились обескураживающей неудачей. Одним из первых, кто указал на несовместимость общей теории относительности с квантовой механикой, был Гейзенберг, заметивший, что наличие размерной константы взаимодействия делает неосуществимой обычную процедуру перенормировки.

Если положить

то все равно даже в ньютоновской теории тяготения сохранится размерная константа, а именно гравитационная постоянная

Ее размерность равна квадратному сантиметру. При разложении в степенной ряд метрического тензора двблизи плоского пространства с метрикой мы вводим константу взаимодействия х, имеющую размерность сантиметра:

Поэтому

В этой системе единиц, где единственной единицей является сантиметр, константа взаимодействия х становится планковской длиной, см, или ГэВ, что лежит далеко за пределами возможностей эксперимента!

Теория перенормировок, однако, основана на фундаментальном допущении о возможности устранить все расходимости посредством бесконечного переопределения некоторых констант. Наличие размерной константы взаимодействия означает, что эта сложная перетасовка и повторное суммирование графов становятся невозможны. В отличие от обычных перенормируемых теорий, в квантовой гравитации невозможно складывать диаграммы с разными степенями константы взаимодействия. Это означает, что общая теория относительности не может быть перенормируемой теорией. Амплитуда рассеяния для пары гравитон-гравитон, например, является теперь степенным рядом по степеням размерного параметра (см. рис. 1.3):

Здесь мы уже не можем перетасовывать графы с разными значениями и, чтобы расходимости сократились, а в этом вся суть теории перенормировок. Поэтому теория перенормировок не работает.

Поскольку безнадежно пытаться втиснуть ОТО в рамки обычной теории перенормировок, необходимо заново рассмотреть принципиальное возражение Дирака против таких теорий. Именно Дирак заметил, что успех квантовой механики был основан на приближенных схемах, в которых каждый новый поправочный член был мал по сравнению

Рис. 1.3. Амплитуды гравитон-гравитонного рассеяния. Поскольку константа взаимодействия не является безразмерной, диаграммы разных порядков нельзя складывать для перенормировки теории. Таким образом, теории, включающие квантовую гравитацию, должны быть либо расходящимися, либо полностью конечными в каждом порядке. Для квантовой гравитации к тому же необходимо найти контрчлены, описывающие взаимодействия с частицами с низким спином. Тем самым теория суперструн является единственным кандидатом на роль конечной теории.

с предыдущим. Но теория перенормировок порочна, поскольку она вопиющим образом нарушает этот принцип, оперируя с бесконечными величинами, которые затем отбрасываются.

Одним из решений могло бы быть построение теории гравитации, которая была бы конечной в каждом порядке относительно константы взаимодействия и вообще не нуждалась бы в перенормировке. А пока надежды возлагались на супергравитацию [14, 15], основанную на калибровочной группе (см. приложение); это было первое нетривиальное обобщение уравнений Эйнштейна за 60 лет. Надежды заключались в том, что указанная калибровочная группа даст нам достаточно много тождеств Уорда-Такахаши, чтобы расходящиеся диаграммы, составляющие обширный класс, сократились. Чем обширнее калибровочная группа, тем вероятнее, что беспокоящие нас бесконечности сократятся (см. рис. 1.4):

Рис. 1.4. Схема, показывающая, как калибровочные теории, основанные на группах Ли, объединили фундаментальные взаимодействия. Теория Максвелла, основанная на группе объединяет электричество и магнетизм. Модель Вайнберга-Салама, основанная на группе объединяет слабое и электромагнитное взаимодействия. Теории Великого объединения (основанные на группах или более обширных группах) являются лучшими кандидатами на роль теории, объединяющей сильное и электрослабое взаимодействия. Теория суперструн является единственным кандидатом на роль калибровочной теории, способной объединить гравитацию с остальными силами, действующими на точечные частицы.

Основная стратегия была такова:

Например, даже для эйнштейновой теории тяготения можно тривиально показать, что на уровне однопетлевых диаграмм она конечна. Существует замечательное тождество Гаусса-Бонне, из которого немедленно следует, что все однопетлевые диаграммы в общей теории относительности (чтобы их все выписать, нужен компьютер) суммируются к нулю. Действительно, супертождества Гаусса-Бонне устраняют многие расходимости супергравитации, но, вероятно, их все же недостаточно, чтобы сделать теорию конечной.

Самая обширная и многообещающая из теорий супергравитации, -супергравитация, по-видимому, является расходящейся. К сожалению, можно выписать локально суперсимметричные контрчлены на уровне диаграмм с семью петлями. Весьма маловероятно, что коэффициенты этих и, возможно, бесконечного числа других контрчленов могут все обратиться в нуль без обращения к еще более высоким симметриям. Это обескураживает, так как означает, что калибровочная группа самой обширной теории супергравитации, т. е. все еще слишком мала для устранения расходимостей общей теории относительности.

Более того, калибровочная группа слишком мала для того, чтобы включить в себя минимальную калибровочную группу

физики элементарных частиц. Если перейти к более обширным группам, чем то обнаружим, что нам придется включать всё более высокие спины. Однако теория для спина 3 со взаимодействием, вероятно, противоречива, что заставляет подозревать в калибровочной группе предел теорий супергравитации.

Итак, супергравитацию следует исключить по следующим двум принципиальным соображениям:

(1) Это, вероятнее всего, не конечная теория, поскольку ее калибровочная группа недостаточно обширна, чтобы устранить все возможные суперсимметричные контрчлены. На уровне диаграмм с семью петлями имеется неустранимый контрчлен.

(2) Ее калибровочная группа недостаточно обширна, чтобы включить минимальную калибровочную симметрию физики элементарных частиц, а именно группу

Сталкиваясь с этими и другими трудностями теории в течение многих лет, физики пришли к выводу, что от одного или нескольких почитаемых ныне представлений о природе Вселенной придется отказаться. Поскольку общая теория относительности и квантовая механика выведены из небольшого набора постулатов, один или более чем один из них должны быть ложными. Ключевым должен быть отказ от одного из основанных на здравом смысле предположений о законах природы; на этих предположениях основаны теория относительности и квантовая механика. За многие годы были выдвинуты следующие предложения об отказе от диктуемых здравым смыслом представлений о мире:

(1) Непрерывность

Этот подход предполагает, что пространство-время должно быть зернистым. Размер этих зерен обеспечит естественное обрезание фейнмановских интегралов, что позволит получить конечную -матрицу. Интегралы вроде 00

будут тогда расходиться как но мы никогда не будем переходить к пределу при 8, стремящемся к нулю. Решеточные теории гравитации относятся к этому типу. В исчислении Редже [16], например, мы разбиваем риманово пространство на дискретные ячейки-симплексы (четырехмерные) и заменяем тензор кривизны угловым дефектом, который вычисляется движением по окружности, охватывающей симплекс:

(В плоском пространстве угловой дефект отсутствует при обходе замкнутого контура и действие просто ничего не означает.) Обычно в решеточных теориях переходят к пределу при стремлении решеточной длины к нулю. Здесь, однако, мы сохраняем эту длину фиксированной и равной некоторому малому числу [17]. В настоящее время, однако, нет экспериментальных данных, поддерживающих идею о зернистости пространства-времени. Хотя мы никогда не сможем исключить этот подход, он представляется идущим против естественного направления развития физики элементарных частиц, состоящего в постулировании все более обширных и элегантных групп.

(2) Причинность

Этот подход допускает небольшие нарушения принципа причинности. Теории, включающие механизм Ли-Вика [18], действительно перенормируемы, но в них возможны малые отклонения от причинности. В этих теориях сходимость фейнмановских диаграмм обеспечивается добавлением фиктивного поля Паули-Виллара с массой М, изменяющего ультрафиолетовое поведение пропагатора. Обычно фейнмановский пропагатор сходится как в ультрафиолетовом пределе. Однако добавлением фиктивной частицы его можно сделать сходящимся еще быстрее, как

Заметим, что поле Паули-Виллара является духом из-за — 1, появляющейся в пропагаторе. (Это означает, что теория столкнется с трудностями, вызванными появлением отрицательных вероятностей.) Как правило, мы устремляем массу поля Паули-Виллара к бесконечности. Здесь, однако, мы оставляем ее конечной, позволяя полюсу перейти на нефизический лист. Исследования структуры полученных фейнмановских диаграмм показывают, однако, что принцип причинности нарушается; это значит, что вы можете встретиться с вашими родителями до вашего рождения.

(3) Унитарность

Можно заменить теорию Эйнштейна, основанную на тензоре кривизны, конформной теорией, основанной на тензоре Вейля:

Здесь тензор Вейля определяется формулой

где скобки означают антисимметризацию. Конформный тензор обладает более обширной группой симметрии, чем тензор кривизны, т. е. инвариантностью относительно локальных конформных

преобразований:

Теория Вейля сходится, потому что пропагаторы имеют асимптотику тем самым это теория с высшими производными. Однако в ней присутствует «унитарный дух», который также входит с множителем — 1 в пропагаторе по тем же причинам, что и выше. Самое большее, на что можно надеяться, - «конфайнмент» этих унитарных духов с помощью механизмов, аналогичных конфайнменту кварков [19, 20].

(4) Локальность

Много лет выдвигались также предложения отказаться от некоторых важных постулатов квантовой механики, например от локальности. В конце концов нет никакой уверенности в том, что законы квантовой механики обязаны выполняться вплоть до столь малых расстояний, как см. Однако всякий раз возникали затруднения, как только физики пытались от этих законов отклониться (так было и в случае с причинностью). В настоящее время нет удовлетворительной альтернативы квантовой механике.

(5) Точечные частицы

Наконец, существует подход суперструн, отвергающий понятие идеализированных точечных частиц, впервые введенных греками 2000 лет тому назад.

Теория суперструн, поскольку она отбрасывает лишь предположение о том, что на фундаментальном уровне материя состоит из точечных частиц, наносит наименьший ущерб почитаемым физическим принципам и продолжает традицию перехода к все более сложным и хитроумным калибровочным группам. Она не нарушает никаких законов квантовой механики, однако ей удается устранить большую часть, если не все, из расходимостей фейнмановских диаграмм. Группа симметрии суперструнной модели, самая обширная из когда-либо встречавшихся в истории физики, возможно, достаточно обширна, чтобы сделать теорию конечной во всех порядках. И снова именно симметрия, а не отказ от квантовой механики, является решающим обстоятельством, обеспечивающим конечность теории.

На рис. 1.5 наглядно представлены разные этапы развития теоретических взглядов на природу тяготения. Первой была ньютонова теория действия на расстоянии, в которой гравитационное взаимодействие распространялось быстрее скорости света. Эйнштейн заменил ее классической интерпретацией искривленных многообразий. Квантовая теория гравитации, в свою очередь, вводит квантовые поправки к теории Эйнштейна, добавляя петли. Наконец, теория суперструн вводит дальнейшие поправки к квантовой теории точечных частиц,

Рис. 1.5. Этапы развития теории гравитации. Каждый шаг, показанный на этой схеме, основан на успехе предыдущего шага. Ньютон представлял себе тяготение как силу, мгновенно действующую на расстоянии. Эйнштейн предположил, что тяготение вызывается кривизной пространства-времени. Наивное объединение общей теории относительности и квантовой механики дает расходящуюся теорию, так называемую квантовую гравитацию, в которой предполагается, что тяготение порождается обменом особыми -гравитонами. В теории струн предполагается, что тяготение вызывается обменом замкнутыми струнами.

суммируя по всем возможным топологическим конфигурациям взаимодействующих струн.

Теория суперструн, однако, своим историческим развитием ничуть не напоминает ее предшественников. У нее, вероятно, самая странная в истории науки судьба с большим числом кренов и поворотов, чем в аттракционе «американские горы».

Началась она с того, что два молодых физика, Венециано и Судзуки [21, 22], независимо открыли квантовую теорию этой модели. Перелистывая математический справочник, они случайно заметили, что бета-функция Эйлера удовлетворяет всем аксиомам -матрицы для взаимодействий адронов, кроме унитарности. Невё, Шварц и Рамон [23-25] быстро обобщили теорию, чтобы включить в нее частицы со спином. Чтобы разрешить проблему унитарности, Киккава, Сакита и Вирасоро [26] предложили считать бета-функцию Эйлера борновским членом теории возмущений. Наконец, Каку, Яу, Лавлейс и Алессандрини [27-33] завершили построение квантовой теории, вычислив бозонные многопетлевые диаграммы. Теория, однако, оставалась целиком сформулированной на языке амплитуд -матрицы на массовой оболочке.

Затем Намбу и Гото [34, 35] поняли, что за этими амплитудами рассеяния скрывается классическая релятивистская струна. Одним

махом они революционизировали всю теорию, открыв за ней объединяющую классическую картину. Взаимосвязь между классической и квантовой теориями была быстро установлена Голдстоуном, Годдардом, Ребби и Торном [36] и далее развита Мандельштамом [37]. Эта теория, однако, по-прежнему формулировалась как первично квантованная теория, так что вершины, меру, правила подсчета диаграмм и другие конструкты приходилось постулировать специально для данного случая, а не выводить из основных аксиом.

Действие (в некоторой частной калибровке) было наконец выписано Каку и Киккавой [38]. Наконец, модель оказалось возможным вывести из одного лишь действия в терминах физических переменных, хотя у действия не осталось никаких симметрий. Однако, когда было обнаружено, что эту теорию можно определить лишь в 10 или 26 измерениях, модель сразу перестала быть привлекательной. Кроме того, быстрое развитие квантовой хромодинамики в качестве теории взаимодействия адронов, казалось, забило последний гвоздь в гроб теории суперструн.

В течение десяти лет модель влачила жалкое существование, поскольку никто не мог поверить, что 10- или 26-мерная теория имеет какое-либо отношение к четырехмерной физике. Когда Шерк и Шварц [39] сделали скандальное (для того времени) предположение, что дуальная модель является на самом деле теорией всех известных взаимодействий, никто не принял его всерьез. Идея не получила никакой поддержки.

Наконец, теория опять ожила, когда Грин и Шварц [40] в 1984 г. открыли, что теория суперструн свободна от аномалий и, вероятно, конечна во всех порядках теории возмущений. «Гетеротическая струна» Гросса, Харви, Мартинека и Рома [41] в настоящее время представляется лучшим кандидатом на роль теории, объединяющей гравитацию с физически разумными моделями взаимодействий частиц.

Одна из областей, в которой сейчас ведутся интенсивные исследования, - завершение развития теории с целью выяснить, почему в этой модели происходят все ее «чудеса». Наблюдалась бешеная активность в попытках выписать ковариантное действие с помощью методов, открытых за последнее десятилетие, например подхода BRST. Однако теперь растет понимание того, что ковариантный формализм BRST сам по себе есть теория в фиксированной калибровке, что весьма напоминает формализм светового конуса. Недавно, однако, опубликована работа по действительно геометрической теории поля, в которой все свойства теории могут быть выведены из простых физических принципов. Она рассматривается в гл. 8. Это и в самом деле явилось бы завершением развития теории, продвигавшегося вперед в обратном направлении в течение последних двадцати лет:

Подытожим теперь некоторые обнадеживающие особенности модели суперструн:

(1) Калибровочная группа включает что намного обширнее минимальной группы . В этой теории остается вполне достаточно места для феноменологии.

(2) В теории нет аномалий. Эти небольшие, но важные дефекты квантовой теории поля налагают чрезвычайно строгие ограничения на то, какие теории являются самосогласованными. Симметрии теории суперструн с помощью ряда «чудес» могут сократить все эти потенциальные аномалии.

(3) Веские аргументы из теории римановых поверхностей указывают на то, что теория конечна во всех порядках теории возмущений (хотя строгого доказательства этого утверждения пока нет).

(4) Возможности выбора вариантов теории сильно ограничены. Суперструнные модели очень трудно модифицировать, не разрушая при этом их волшебных свойств. Поэтому в них не возникает проблем с наличием двадцати или более произвольных констант взаимодействия.

(5) Теория включает различные ТВО, супертеорию Янга-Миллса, супергравитацию и теорию Калуцы-Клейна в качестве ее подмножеств. Поэтому многие черты феноменологии, развитые в этих теориях, переносятся в теорию струн.

Грубо говоря, теория суперструн объединяет различные силы и частицы тем же способом, которым скрипичная струна дает единое описание музыкальных тонов. Сами по себе ноты ля, си, до и др. не являются фундаментальными. Однако скрипичная струна фундаментальна; один физический объект может объяснить множество музыкальных нот и даже гармоний, которые можно из них построить. Весьма сходным образом суперструны дают единое описание элементарных частиц и сил. Фактически «музыка», создаваемая суперструной, это силы и частицы, существующие в природе.

Хотя теория суперструн вследствие баснословно обширного множества симметрий проявляет «чудесное» сокращение аномалий и расходимостей, мы должны также представить объективную картину и указать на недостатки этой теории. Справедливости ради мы должны перечислить также потенциальные трудности теории, указанные критиками модели:

(1) Невозможно экспериментально достичь чудовищных энергий, обнаруживаемых на планковской длине. Поэтому теория в некотором смысле не подлежит экспериментальной проверке. Но непроверяемая теория не является приемлемой физической теорией.

(2) Не было найдено никаких экспериментальных подтверждений существования суперсимметрии, не говоря уже о суперструнах.

(3) Было бы легкомысленно предполагать, что в «пустыне» между 100

и 1019 ГэВ не встретится никаких неожиданностей. Новые, совершенно неожиданные явления неизменно обнаруживались при увеличении предельных энергий ускорителей. Теория суперструн, однако, делает предсказания, относящиеся к следующим 17 порядкам величины энергии, что неслыханно в истории науки.

(4) Теория не объясняет, почему космологическая постоянная равна нулю. Всякая теория, претендующая на роль «теории всего», несомненно должна объяснить загадку обращения в нуль космологической постоянной, и непонятно, как теория суперструн решает эту проблему.

(5) Богатство теории обескураживает. Существует около тысячи способов редуцировать теорию к низким энергиям. Какой из них дает правильный вакуум? Хотя теория суперструн может дать минимальную теорию с калибровочной группой она также предсказывает много других взаимодействий, которые пока не были обнаружены.

(6) Никто на самом деле не знает, как редуцировать 10-мерную теорию к четырем измерениям.

Из этих шести возражений против модели самым важным является последнее: неспособность предсказать размерную редукцию. Причина этого проста: в каждом порядке теории возмущений размерность пространства-времени стабильна. Поэтому для того, чтобы теория спонтанно свернулась в 4- или 6-мерную вселенную, необходимо рассматривать непертурбативные динамические эффекты, которые очень трудно вычислять. Поэтому так важен поиск геометрии, лежащей в основе теории. Геометрическая интерпретация модели может дать нам ключ к такому ее пониманию, которое позволит провести непертурбативные вычисления и сделать определенные предсказания с помощью этой теории.

Так, возражение против модели, касающееся невозможности экспериментально проверить ее на планковской длине, в определенной степени вводит в заблуждение. Теория суперструн, если ее удастся успешно подвергнуть динамической редукции, должна быть способна делать предсказания вплоть до диапазона энергий, встречающихся на практике. Например, она должна быть способна предсказать массы кварков. Следовательно, нам не придется ждать несколько столетий, пока у нас не будет ускорителей, способных достичь масштаба энергий планковской длины.

Итак, важнейшая трудность теории суперструн не связана с экспериментом. Она в основном теоретическая. Самая важная проблема этой теории - вычислить динамическое нарушение симметрии, чтобы ее предсказания можно было сравнить с экспериментальными данными, полученными при обыкновенных энергиях.

Теория, являющаяся фундаментальной при планковских энергиях, останется фундаментальной и при обыкновенных энергиях. Поэтому

камнем преткновения для развития теории служит понимание ее непертурбативного поведения. Ключ к такому пониманию, вероятно, лежит во вторично квантованной, геометрической формулировке модели.

В части I этой книги, однако, мы будем следовать историческому прецеденту и изложим сначала модель в формулировке первичного квантования. Как мы будем подчеркивать на протяжении всей этой книги, теория первичного квантования кажется беспорядочной кучей случайных фактов. Поэтому мы подчеркнули роль формулировки континуального интеграла (впервые выписанной для модели Венециано Су, Сакитой и Вирасоро [42, 43]) как самого мощного метода для формулирования теории первичного квантования. Хотя подход континуального интеграла и не может выявить геометрических принципов, лежащих в основании модели, он дает наиболее всеобъемлющую формулировку теории первичного квантования.

Обратимся теперь к функциональной формулировке [44] теории точечных частиц, которую можно почти непосредственно включить в теорию струн.