§ 10.2. ГЕТЕРОТИЧЕСКАЯ СТРУНА

Перейдем теперь к обсуждению гетеротической струны Г росса, Харви, Мартинека и Рома [6]. В предыдущей главе мы видели, что для сокращения аномалий необходимо использовать либо группу либо группу Однако мы также видели, что введение множителей Чана-Патона невозможно для исключительных групп. Следовательно, для генерирования изоспиновой группы необходимо использовать механизм компактификации.

Гетеротическая струна является замкнутой струной с необычными чертами, обусловленными раздельной компактификацией левого и правого секторов. В левом секторе, являющемся чисто бозонным, возьмем 26-мерную струну, у которой 16 измерений скомпактифицированы на тор, генерируемый решеткой. -мерная решетка, которую мы в конечном счете выберем, будет решеткой группы или группы

Сектор правых мод, с другой стороны, является суперсимметричным, т.е. содержит майорана-вейлевское фермионное поле Грина-Шварца , где индекс а пробегает от 1 до 8 (в калибровке светового конуса), и пространственно-временное струнное поле :

Здесь индекс помечающий направления на 16-мерной решетке, пробегает от 1 до 16, а являющийся пространственно-временным индексом, пробегает в калибровке светового конуса от 1 до

Отметим, что пространственно-временное струнное поле появляется как в левом, так и в правом секторах. Собирая все вместе, в калибровке светового конуса для гетеротической струны получаем следующее действие:

В этом действии мы должны учесть связи, наложенные на различные поля соответствующих секторов:

Это действие инвариантно относительно преобразования суперсимметрии

Приведем теперь явный вид разложения полей теории в терминах нормальных мод (заметим, что мы изменили нормировку спиноров по сравнению с (3.8.8)):

Вид канонических коммутационных соотношений теории можно извлечь прямо из действия. Используя их, можно в свою очередь записать канонические коммутационные соотношения для осцилляторных мод:

где - оператор проекции на состояния определенной киральности

(Есть один коммутатор, требующий особого внимания. Отметим что на компактифицированные степени свободы наложены связи, соответствующие рассмотрению только левых мод. Поэтому при квантовании этих мод следует учитывать наложенные связи, иначе теория будет противоречивой. К счастью, единственное изменение, к которому приводят эти ограничения, заключается в умножении правой части канонических коммутационных соотношений на 1/2:

Это может быть проверено непосредственно при использовании формулировки связей в терминах скобки Дирака или проверкой того, что определенный по-новому коммутатор согласован со связями.) Определим оператор числа состояний для каждого сектора:

Это означает, что осцилляторы в обоих секторах можно разбить на три группы следующим образом:

Используя эти определения, находим, как и ранее, что масса может быть записана в виде

К тому же вследствие замкнутости струны имеется дополнительная связь: теория не должна зависеть от выбора начала отсчета координаты а, как в (2.8.7). Так, если - оператор, поворачивающий замкнутую струну, параметризуемую а, на угол то физические состояния должны

удовлетворять условию

Для гетеротической струны этот оператор вращения имеет вид

Действуя на произвольную функцию от от, этот оператор производит следующее преобразование:

Чтобы на физических состояниях имело место равенство мы должны обеспечить выполнение следующего условия связи:

До сих пор мы не конкретизировали явный вид 16-мерной решетки. Чтобы фиксировать теорию, возьмем пространство в виде

где - произвольная пока решетка в 16 измерениях.

Натянем эту 16-мерную решетку на базисные векторы

Компактификация 16-мерного пространства с помощью решетки означает просто, что если мы идем в направлении V, определяемом одним из векторов решетки, то в конечном счете мы вернемся в ту же самую точку. Потребуем, чтобы в этом базисе координата центра масс струны была периодичной вдоль любого базисного вектора:

Здесь — целые числа, а - радиусы различных компактифицированных измерений. Таким образом, если мы пойдем в любом направлении, задаваемом базисным вектором, то мы вернемся обратно в первоначальное положение. Это налагает нетривиальное ограничение на импульсы. Из обычной квантовой механики мы знаем, что является генератором трансляций в направлении. Таким образом, периодичность означает, что оператор сдвига, действующий на состояния, должен иметь собственное значение, равное единице

Этот оператор просто генерирует сдвиг в (10.2.16) и производит полный

обход вокруг тора в направлении до тех пор, пока мы не вернемся в исходную точку.

Поэтому канонические импульсы должны быть определены формулой

где - целые числа, а определяют дуальную решетку А, так что

Здесь необходимо отметить, что используемая при компактификации решетка не является произвольной. Во-первых, она должна быть четной решеткой в силу уравнения связи (10.2.13), возникающего из требования инвариантности гильбертова пространства относительно сдвигов вдоль ст. Заметим, что оператор в (10.2.11) можно положить на пространстве Фока равным единице, только если целое число, т.е.

Следовательно, числа намотки должны быть координатами векторов на целочисленной четной решетке.

Метрический тензор для решетки, соответствующей группе Ли, определяется как

Получаем, следовательно, что компоненты метрики должны быть целочисленными, а четными. Во-вторых, вследствие модулярной инвариантности решетка должна быть автодуальной (т. е. векторы на решетке должны быть равны векторам на дуальной решетке), что станет более очевидным после обсуждения однопетлевой диаграммы в § 10.6. Существует очень мало четных автодуальных решеток. Они определены только в измерениях. В восьми измерениях известна только одна решетка являющаяся корневой решеткой группы В шестнадцати измерениях существует только две таких решетки,

соответствующих группам Поэтому мы очень ограничены в выборе калибровочной группы.

Метрика для корневой решетки группы имеет вид

Есть различные способы описания решетки корней для группы Один из простейших заключается в следующем. Мы задаем 84 корневых вектора в виде

128 корневых векторов в виде

и 28 векторов выбираем в виде

Добавляя 8 векторов из картановской подалгебры, получаем в итоге 248 генераторов, образующих присоединенное представление группы

Далее в этой главе мы используем понятие просто сплетенных групп, т.е. групп, все корни которых имеют равную длину. Такими группами являются группы типа и Е (см. приложение).

Перечислим решетки, определяющие группы Ли, с которыми мы встретились при обсуждении гетеротической струны:

Эти решетки важны, поскольку условие вынуждает нас брать четные решетки, а условие модулярной инвариантности заставляет (как мы увидим в § 10.6) налагать на них условие автодуальности:

В шестнадцати измерениях единственными четными автодуальными решетками являются корневые решетки групп