§ 10.4. КОВАРИАНТНАЯ И ФЕРМИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКИ

Хотя спектр гетеротической струны проанализирован в калибровке светового конуса, мы можем также выписать явно ковариантную версию первично квантованного действия. Начнем с записи в ковариантной форме правого суперсимметричного сектора. Выберем из генераторов группы супер-Пуанкаре генераторы Обобщим оператор трансляций в направлении х. Элемент группы супертрансляций имеет вид

где -десятимерный спинор. Этот оператор сдвинет функцию от координат на X и фермионную координату на 0. Введем теперь

Теперь правый сектор действия Грина-Шварца (GS) может быть записан в виде

Первый член в правой части является обычным квадратичным членом действия GS. Второе слагаемое является нелинейным членом действия GS, записанным в виде члена Весса-Зумино, и представляет собой трехмерный интеграл по поверхности, граница которой совпадает с мировой поверхностью струны. Сумму первых двух слагаемых можно считать альтернативной формулировкой действия GS. Третье слагаемое в действии необходимо для учета связей в правом секторе.

Аналогично, для левого сектора, содержащего изотопический сектор, действие также может быть записано ковариантно, но при этом необходимо выбрать либо фермионы, либо бозоны. Из теории групп Ли мы знаем, что генераторы алгебры Ли могут быть записаны либо как произведение бозонных, либо как произведение фермионных полей.

Таким образом, имеем

где индекс нумерует фундаментальное представление группы Важно заметить, что эти фермионы преобразуются как лоренцевы скаляры. Индекс I является внутренним индексом. Для фермионных осцилляторных мод можно, конечно, выбрать граничные условия либо Рамона (периодические), либо Невё-Шварца (антиперио дические).

Для бозонного представления тот же самый изотопический сектор можно записать в виде

где Это, конечно, дает использованное ранее представление светового конуса, в котором мы нарушили лоренцеву ковариантность. (На первый взгляд может показаться странным, что левый и правый секторы помечены знаками что, похоже, выделяет лоренц-неинвариантные направления в двух измерениях. Однако приведенная выше формулировка является репараметризационно инвариантной, поскольку направления расположены в касательном пространстве. Таким образом, двумерная репараметризационная инвариантность остается нетронутой.)

Выпишем теперь полное пространственно-временное действие (без изоспиновой части), содержащее как левый, так и правый секторы ковариантным образом:

Это действие имеет суперсимметрию

Выберем теперь вместо калибровки светового конуса конформную калибровку. При этом действие для гетеротической струны приводится к виду

Целью проведенного рассмотрения было показать, что ковариантная

версия гетеротической струны существует и можно использовать фермионные или бозонные поля для записи изоспиновой части действия. Мы не привязаны к формулировке в терминах бозонных полей и к калибровке светового конуса.

Следует, однако, заметить, что даже в ковариантной формулировке теория гетеротических струн выглядит несколько неуклюжей и надуманной. Возможно, будущая версия этой теории будет иметь более элегантный вид.