§ 7.4. ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

В противоположность полевой теории в калибровке светового конуса, где струны просто расщепляются в своих внутренних точках, взаимодействующий BRST-формализм Виттена [16] опирается на струнную конфигурацию, показанную на рис. 7.1. (На первый взгляд эта конфигурация кажется нарушающей закон сохранения импульса. Однако только в теории светового конуса импульс струны связан с ее длиной. В ковариантном формализме параметризационная длина не связывается с импульсом, и поэтому такая диаграмма разрешена.) Длина всех струн полагается одинаковой. Мы можем еще раз обобщить дельта-функции, появившиеся в (6.4.4), чтобы включить эту новую конфигурацию:

Рис. 7.1. Симметричное взаимодействие BRST струнной полевой теории. Заметаемая поверхность при использовании такой вершины не является плоской, как в теории светового конуса. Отсутствует необходимость в четырехструнном взаимодействии.

Рис. 7.2. Конформная поверхность струнной полевой теории BRST. Эту конформную поверхность можно представить, либо выбирая шесть зарядов и размещая их на диаграмме так, чтобы смоделировать поверхность с тремя зарядами, либо проводя на поверхности римановский разрез.

где

Как в (6.5.2), для того чтобы построить вершину в осцилляторной форме, мы должны найти конформное преобразование, которое переводит верхнюю полуплоскость в изучаемую струнную конфигурацию [26-32]. К сожалению, конформного преобразования трех зарядов в верхнюю полуплоскость (без разрезов) для BRST-вершины не существует, потому что сумма зарядов обычно берется равной нулю, в то время как здесь сумма трех зарядов для симметричной конфигурации должна равняться 3. Решение заключается в построении электростатики шести зарядов, сумма которых равна нулю, и определении границ для того, чтобы смоделировать присутствие трех зарядов. Это требует разрезания и сшивания нескольких областей комплексной плоскости. Отображение имеет вид (см. рис. 7.2)

где

К счастью, это отображение можно обратить и получить решение для через делающее возможным явное построение функций Неймана. Обращая отображение, находим

где

Коэффициенты Фурье будут содержаться в комбинациях

Объединяя все вместе, находим, что функция Неймана, появляющаяся в вершине, есть

где

В явном виде выписывая вершину через операторы, получаем

Используя условие непрерывности для духов, можно также вылить духовой вклад в вершинную функцию. Для этого мы просто X в (7.4.2) духами b и с. Тогда духовая вершина имеет вид

Здесь вакуум это произведение трех вакуумов, введенных в (7.3.5). Для или матрица X имеет вид

а для

Окончательная вершина представляет собой произведение этих двух вершин, определяемых в двух совершенно различных пространствах:

Посредством длительных вычислений можно показать, что эта вершина удовлетворяет условию BRST-инвариантности [29]:

Имеется несколько различных способов представления этой вершины. Во-первых, из комформной полевой теории нам известно, что систему антикоммутирующих духов и с можно бозонизировать посредством скалярного поля, которое мы обозначим через Тогда новая духовая вершина запишется как

(Несколько удивляет в этой бозонизированной вершине присутствие вставки в средней точке. Такой член не портит локальность по а, поскольку он появляется только в точке Более того, он обеспечивает для символа умножения правильное духовое число Так как духовое число калибровочного параметра равно — 3/2, то символ должен иметь духовое число 3/2, чтобы произведение двух калибровочных параметров давало третий калибровочный параметр с тем же духовым числом.)

Существует еще один способ вычисления симметричной вершины, который основан на использовании конформных отображений с римоновыми разрезами (вместо сращивания различных областей комплексно плоскости). Рассмотрим конформное отображение

Отображение имеет обычные сингулярности в точках (соответствующие трем входящим и выходящим струнам на ± Однако новым моментом является наличие у этого отображения явного риманова разреза, создающего многолистную -плоскость. Этот разрез

Рис. 7.3.

в точности то, что нужно для построения в -плоскости поверхности, описывающей симметричное столкновение трех струн. Он располагается вертикально от в нижней полуплоскости до в верхней полуплоскости. Структуру многолистной плоскости можно понять, проследив движение вдоль вещественной оси на рис. 7.3.

Если начать с точки на положительной вещественной оси и двигаться влево, то константу к можно выбрать так, что мы при этом пройдем аналогичный путь, пролегающий вдоль вещественной оси Р в отрицательную бесконечность. Дойдя до точки (точка В), мы Достигаем отрицательной бесконечности на вещественной оси. При перепрыгивании через в плоскости происходит скачок на единиц вертикально вверх. Далее, движению от в Плоскости соответствует горизонтальное движение вправо от С к до пор, пока мы не достигнем оси у в точке Теперь, двигаясь вертикально вверх по риманову разрезу до точки мы опускаемся в плоскости по оси у до Движение по разрезу в обратном направлении к точке соответствует движению от к точке началу координат. Движение от Начает движение от к отрицательной вещественной бесконечности (на следующем римановском листе). Перепрыгивая через сдвигаемся вертикально вверх на в отрицательной вещественной бесконечности. Наконец, движение от означает движение от (от Н к

Функции Неймана можно также вывести непосредственно из отображения (7.4.17). Этот альтернативный подход к вершинной функции вставлен в [30-32].