СОВПАДЕНИЯ

К счастью, существует ряд «совпадений», позволяющих установить локальные изоморфизмы между группами. Например, локально изоморфна

Чтобы это увидеть, просто заметим соответствие между матричными элементами групп и

Таким образом, имеется закон умножения

Другое совпадение - это

Простейший способ это доказать - заметить, что спиновые матрицы Паули от, суть комплексные -матрицы с теми же коммутационными соотношениями, что и алгебра группы Так,

где матрица в левой части - это ортогональная -матрица, а в правой части стоит унитарная матрица.

Другое полезное совпадение - это

Чтобы это доказать, заметим, что образующие группы О (4) можно разбить на два набора:

и

Заметим, что матрицы А и В по отдельности порождают алгебру Ли группы и что

Тем самым можно параметризовать любой элемент группы О (4) таким образом, что он представляет как произведение двух элементов коммутирующих экземпляров группы Итак, мы доказали, что любой элемент группы расщепляется в произведение двух элементов коммутирующих экземпляров группы

К сожалению, эти совпадения являются скорее исключением, нежели правилом, для групп Ли. Перечислим некоторые из этих совпадений:

Для произвольного имеем

b, кроме того, для

где есть множество всех -матриц с единичным детерминантом, элементы которых могут быть вещественными числами, комплексными числами или кватернионами. Кватернионы - это обобщение комплексных чисел, такое, что каждый кватернион может быть записан в виде

где с суть вещественные числа и справедливы соотношения

Представление Картана-Вейля

В общем случае для исключительных групп не существует таких удобных представлений через подгруппы группы Вместо этого мы воспользуемся методами Ли и Картана.

Среди образующих данной группы выберем взаимно коммутирующие элементы

Полученная алгебра называется картановской подалгеброй. Число элементов картановской подалгебры называется рангом соответствующей группы. Назовем все прочие элементы исходной алгебры Е. Каковы коммутационные соотношения между элементами Н и ЕР. В общем случае нельзя обеспечить, чтобы коммутатор элементов из Н и Е давал другой элемент из Я, потому что это не удовлетворяло бы тождествам Якоби. Поэтому этот коммутатор даст другой элемент из Е. Мы всегда можем перегруппировать прочие элементы Е исходной алгебры таким образом, чтобы они стали собственными векторами элементов Я. Обозначим их

где а называется корневым вектором в -мерном пространстве. В общем случае эти корневые векторы лежат в -мерном пространстве. Заметим, что если число параметров группы равно то число элементов Е равно Итак, в -мерном пространстве имеется корневых векторов. Всегда можно взять линейные комбинации различных Е и получить уравнение на собственные значения

В силу тождеств Якоби другие коммутационные соотношения принимают вид

суть структурные константы нашей группы. Их явный вид дается уравнением

Симметрии, связывающие между собой структурные константы, таковы:

Диаграммы Дынкина

Дадим несколько определений, касающихся корней. Каждый корневой вектор лежит в -мерном пространстве. Поэтому мы можем выбрать некое подмножество, состоящее из таких векторов, так что каждый другой корневой вектор может быть записан как их линейная комбинация:

Корень называется положительным, если первый ненулевой коэффициент с в этой формуле положителен. Простой корень - это положительный корень, который не может быть представлен суммой двух положительных корней. Поскольку структурные константы однозначно определяют алгебру, то это же можно сказать о матрице Картана; это -матрица, определенная формулой

где а, суть простых корней.

Диагональные элементы матрицы Картана по построению равны 2. Но эта матрица необязательно симметрична. Действительно, можно показать, что для внедиагональных элементов возможны лишь значения 0, —1, —2, —3. Поскольку матрица Картана полностью определяет группу, можно использовать некоторые простые свойства этой матрицы, чтобы определить группу графически. Самое удобное из таких графических представлений - диаграмма Дынкина.

Для группы ранга нарисуем точек. Каждый простой корень, таким образом, представлен точкой. Теперь соединим точки и с помощью линий, где равно произведению соответствующих внедиагональных элементов матрицы Картана:

Полученная диаграмма представляет собой набор точек, соединенных одинарными или множественными линиями и называемая диаграммой Дынкина. Достоинство диаграмм Дынкина состоит в том, что они однозначно определяют структуру любой группы Ли и тем самым позволяют визуально различать разные группы Ли.

Поскольку элементы матрицы Картана связаны со скалярными произведениями в пространстве, порожденном решеткой корней, мы можем также выразить через угол между двумя корневыми

Рис. П.1. Диаграммы Дынкина для разных алгебр Ли. Число точек представляет ранг соответствующей группы. Число линий, соединяющих точки, зависит от угла между двумя корневыми векторами. Диаграммы Дынкина дают удобный способ наглядного представления всей структуры произвольной алгебры Ли.

векторами:

Если ограничиться компактными вещественными группами, получим

следующие диаграммы Дынкина (см. рис. П.1):

в последнем выражении число знаков четно.

в последнем выражении число знаков четно.

в последнем выражении число знаков четно.