§ 8.6. СВЯЗНОСТИ И КОВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Определив представления USG и следуя основной стратегии (8.1.1) мы теперь должны построить поля и ковариантные производные. Снова мы начинаем рассмотрение по точной аналогии с калибровочной теорией точечной частицы.

В теории Янга-Миллса и общей теории относительности для локализации калибровочной группы и группы Лоренца нам необходимы поля связности А и со. В теории струн для того, чтобы сделать локальной как струнную группу, так и Diff(S), требуются калибровочные поля Соответствие между связностями точечной частицы и связностями струны имеет следующий вид:

Наконец, нам также понадобится струнная тетрада, аналог найденной в общей теории относительности, которая позволит умножать и интегрировать поля, сохраняя локальную инвариантность относительно Diff(S). Так как основная струнная переменная имеет два сорта индексов, струнная тетрада должна обязательно содержать четыре индекса:

В итоге минимальный набор, необходимый для локализации теории Янга-Миллса и общей теории относительности, состоит из трех полей: минимальный набор полей, необходимых для локализации полевой теории струн, также содержит три поля:

Теперь, определив основные поля, согласно стратегии (8.1.1), построим из и ковариантные производные. Прежде всего заметим, что ни та ни другая производная не ковариантны относительно струнной группы. Например, действие опаратора производной на произведение двух модулей Верма определяется формулой

где правило умножения дается (8.4.27) и

Следовательно, оператор действует дистрибутивно как дифферен рование по модулю членов, обращающихся в нуль при свертке с общем случае будет содержать члены типа где - собственное значение устуст

Перейдем к анализу трансформационных свойств производных относительно струнной группы. В общем случае под действием струнной группы поле преобразуется как

Важно осознать, что производная поля преобразуется под действием струнной группы неправильно, что делает необходимым введение поля связности. Действительно, находим

что не соответствует (8.6.4). (Индексы V опущены.)

Введем поле связности аналог поля Янга-Миллса, которое поглотит нежелательные локальные факторы. Для него определим

где мы для ясности опустили все индексы V Это позволяет написать производную

которая преобразуется правильным образом:

Мы получили то уравнение, которое хотели. Оно показывает, что с добавлением поля связности можно построить производные, ковариантные относительно действия полной группы USG.

Следует подчеркнуть, что предыдущие уравнения были записаны в компактных обозначениях. Например, в теории Янга-Миллса ковариантные производные в развернутой форме имеют вид

В геометрической теории мы также должны подставить групповую матрицу, определенную в (8.4.27). Таким образом, ковариантная производная, выписанная со всеми ее индексами, равна

где

До сих пор мы занимались построением ковариантной производной струнной группы. Теперь мы должны сконструировать ковариантную производную связанную с локальными репараметризациями группу или с универсальной ковариантностью. Чтобы ввести локальную -инвариантность, последуем примеру общей теории относительности и введем струнные тетрады и струнные поля связности. Определим, как преобразуются под действием группы

Полагая

находим

Как и в общей теории относительности, мы найдем удобным ввести в теорию струнную тетраду, чтобы сделать меру интегрирования инвариантной, и поле связности, поскольку производные ковариантных полей уже не являются ковариантными.

Как и в общей теории относительности, два принципа приводят к выбору единственной функциональной меры. В струнной полевой теории мы вынуждены выбрать меру так, чтобы интегрировать один раз по каждой физической пространственно-временной конфигурации С. Для задания такой функциональной меры определим

так что она преобразуется как струнная плоскость. Если -скалярное поле, то мы хотим, чтобы

Это, в свою очередь, фиксирует вариацию тетрады:

Тщательный анализ этой формулы показывает, что наш выбор для функциональной меры интегрирования правилен.

Обратим внимание на очень важный факт, а именно: не все компоненты тетрадного поля независимы, так как в действительности вышеприведенные тождества можно выразить через меньшее векторное поле преобразующееся под действием Это неудивительно, поскольку мы не строим теорию с общекоординатной инвариантностью на струне. В противном случае благодаря преобразованию

наша теория не была бы больше струнной теорией. Такой трансформационный закон просто означает, что каждая точка струны может свободно двигаться в любом направлении 26-мерного пространства, что разрушило бы струну. Вместо этого мы хотим, чтобы каждая точка струны перемещалась вдоль самой струны, т. е. вдоль касательного вектора Х. Таким образом, универсальная ковариантность быть параметризована через векторное поле а не через полную тетраду. Мы все же будем использовать тетрадный формализм, п° скольку он обеспечивает компактную форму записи теории.

Введение локальных Diff(S) привносит в теорию неинвариантные

производные типа

и в общей теории относительности, решение заключается во зведении поля связности. Определим связность так, чтобы следующие производные преобразовывались под действием Diff(S) как истинные тензоры:

Если индексы А, В и С представляют индексы V или то можно восстановить локальную инвариантность, полагая

Можно также построить тензор кривизны для Diff(S), полагая

Отметим, что мы теперь должны обобщить определение производной

Контравариантные индексы тетрады преобразуются как часть линейного касательного пространства, которая ковариантна относительно полной локальной группы Diff(S), содержащей все диффеоморфизмы (а не только элементы, генерированные -репараметризацией.) Отсюда берет начало двумерная конформная инвариантность нашей теории, которая не была бы очевидной, если бы теория являлась инвариантной только относительно -репараметризаций. Хотя касательное пространно тетрады может преобразовываться полной группой Diff(S), заметим, что преобразования любого функционала от X ограничиваются только -репараметризациями. (Если бы функционал от X преобразовывая полной группой Diff(S), тогда формализм описывал бы теорию на «массовой поверхности», что нам не нужно. Мы избегаем этой проблемы, полагая, что касательное пространство тетрады преобразуется полной группой

Теперь можно суммировать соответствие между нашими полями и обычными тетрадой связностью и калибровочным полем

Как было упомянуто выше, основное различие заключается в параметризации универсальной ковариантности векторным полем Фактически можно показать, что ковариантная производная тетрады равна нулю и тензор кривизны, определенный на касательном пространстве Diff(S), также есть нуль:

Отсюда видно, что единственное независимое поле, содержащееся в тетраде и в поле связности, - это вектор ?ст. Путем утомительных, хотя и совершенно прямолинейных вычислений можно выразить поле связности через тетраду и саму тетраду через векторное поле. Симметрию тетрады и поля связности можно вывести теперь, полагая

Это в свою очередь позволяет зафиксировать параметризацию посредством устранения из теории ?ст. Фиксируя калибровку, мы имеем свободу выбрать

Следует отметить, что добавление в нашу теорию тетрады, как кажется на первый взгляд, портит свойства оператора трансляций, в силу чего окончательное действие уже не будет инвариантным. Однако, вычисляя явный вид этих поправок, мы находим, что дополнительные члены исчезают благодаря обращению в нуль ковариантной производной тетрады и тензора кривизны. Таким образом, все важнейшие свойства оператора трансляций сохраняются.