Часть I. ПЕРВИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ И КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава 1 КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТОЧЕЧНЫЕ ЧАСТИЦЫ

§ 1.1. ДЛЯ ЧЕГО СТРУНЫ?

Объединение двух фундаментальных теорий современной физики, квантовой теории поля и общей теории относительности, в рамках единого теоретического подхода является одной из важнейших нерешенных проблем. Примечательно, что эти две теории, вместе взятые, воплощают всю сумму человеческих знаний о наиболее фундаментальных силах природы. Квантовая теория поля, например, добилась необычайного успеха в объяснении физики микромира вплоть до расстояний, не превышающих см. Общая теория относительности (ОТО), с другой стороны, не имеет себе равных в объяснении крупномасштабного поведения космоса, давая красивое и захватывающее объяснение происхождения самой Вселенной. Поразительный успех этих двух теорий заключается в том, что вместе они могут объяснить поведение материи и энергии в ошеломляющем диапазоне величин в 40 порядков, от субъядерной до космологической области.

Большой загадкой последних пяти десятилетий, однако, была полная несовместимость этих двух теорий. Это выглядит так, как если бы у природы было два ума, каждый из которых работает независимо от другого в своей области, действуя в полной изоляции друг от друга. Почему природа на своем самом глубоком и фундаментальном уровне должна требовать двух полностью различных подходов с двумя наборами математических методов, двух наборов постулатов и двух наборов физических принципов?

В идеале хотелось бы иметь единую теорию поля, объединяющую эти две фундаментальные теории:

Однако история попыток объединения этих двух теорий в минувшие десятилетия была печальной. Они неизменно вдребезги разбивались из-за появления бесконечностей (расходимостей) или нарушали некоторые почитаемые физические принципы, вроде принципа причинности. Мощные методы теории перенормировок, разработанные в квантовой теории поля за последние десятилетия, не смогли устранить расходимости

квантовой теории гравитации. Ясно, что важнейший кусок головоломки пока не найден.

Хотя квантовая теория поля и ОТО кажутся совершенно несовместимыми, последние два десятилетия интенсивных теоретических исследований сделали все более ясным, что секрет этой тайны скорее всего лежит в мощи калибровочной симметрии. Одна из наиболее замечательных черт природы - то, что ее основные законы обладают величественным единством и симметрией, когда они эыражены на языке теории групп. Объединение с помощью калибровочной симметрии, несомненно, один из самых поучительных уроков, преподнесенных физикой. В частности, использование локальных симметрий в теориях Янга- Миллса привело к огромному успеху в борьбе с расходимостями квантовой теории поля и в объединении законов физики элементарных частиц в элегантном и исчерпывающем подходе. Природа, похоже, не просто включает симметрию в физические законы по эстетическим соображениям. Природа требует симметрии.

Проблема заключалась, однако, в том, что даже мощных симметрий калибровочной теории Янга-Миллса и общей ковариантности уравнений Эйнштейна оказалось недостаточно для получения свободной от расходимостей квантовой теории гравитации.

В настоящее время наибольшие надежды на действительно единое и свободное от расходимостей описание этих двух теорий возлагаются на теорию суперструн [1-12]. Суперструны обладают намного большим набором калибровочных симметрий, чем любая другая физическая теория; возможно даже, что этот набор достаточен для устранения расходимостей квантовой теории гравитации. Симметрии теории суперструн не только включают симметрии ОТО и теории Янга-Миллса, они также содержат в качестве подмножеств симметрии супергравитации и теорий Великого Объединения (ТВО) [13].

Грубо говоря, способ, которым теория суперструн решает загадку расходимостей, можно изобразить наглядно так, как это показано на рис. 1.1, где амплитуда рассеяния двух точечных частиц вычисляется суммированием по бесконечному набору фейнмановских диаграмм

Рис. 1.1. Однопетлевая фейнмановская диаграмма для четырехчастичного рассеяния. Ультрафиолетовая расходимость этой диаграммы соответствует стягиванию в точку одной внутренней линии.

Рис. 1.2. Двухпетлевая фейнмановская диаграмма для рассеяния замкнутых струн. Эта диаграмма не содержит ультрафиолетовой расходимости, так как в ней нельзя стянуть в точку внутреннюю линию в отличие от случая точечных частиц. Из одних лишь топологических соображений видно, что теория струн является менее расходящейся, чем теория точечных частиц. Инфракрасные расходимости, однако, по-прежнему могут присутствовать.

с петлями. В общем случае эти диаграммы имеют особенности, соответствующие «стягиванию в точку» одной из внутренних линий с сохранением топологии графа. Для сравнения на рис. 1.2 показан однопетлевой вклад в амплитуду рассеяния двух замкнутых струн. Заметим, что, в отличие от случая точечных частиц, мы не можем здесь стянуть в точку одну из внутренних линий. Поэтому мы интуитивно ожидаем, что теория суперструн будет менее расходящейся или даже конечной вследствие симметрий (топологических инвариантов), запрещающих эту топологическую деформацию.

Любая теория, которая может одновременно устранить расходимости S-матрицы и включить квантовую механику, общую теорию относительности, ТВО и супергравитацию, с очевидностью должна содержать в себе математику, обладающую захватывающей дух красотой и сложностью. Действительно, даже математики были поражены той математикой, которая выросла из теории суперструн и соединила воедино самые несхожие между собой, далеко отстоящие друг от друга области математики, такие, как алгебры Каца-Муди, римановы поверхности и пространства Тейхмюллера, модулярные группы и даже теория группы «монстр».

Величайший парадокс теории струн, однако, состоит в том, что сама она не является единой. Тому, кто впервые изучает эту теорию, она часто представляется удручающим набором легенд и исторических анекдотов, взятых с потолка рецептов и интуитивных допущений. Порой кажется, что нет никакого смысла во многих допущениях модели. Для теории, претендующей на воплощение единого подхода к описанию всех законов физики, то, что сама она выглядит столь разобщенной, кажется издевательской насмешкой судьбы!

Секреты модели на ее наиболее фундаментальном уровне остаются пока непознанными.

Обычно при формулировании какой-нибудь квантовой теории мы начинаем с ее геометрии или симметрии и затем выписываем действие. Из действия, в свою очередь, мы выводим все предсказания модели,

включая унитарную -матрицу. Так, вторичное квантование действия является обычным способом формулировки любой квантовой теории поля. Подлинная причина того, что теория суперструн порой выглядит как неупорядоченный набор кажущихся случайными допущений и произвольных условностей, состоит в том, что она обычно формулируется как первично квантованная теория. Поэтому приходится прибегать к интуиции и традиционным рецептам, почерпнутым из физического фольклора, чтобы построить все фейнмановские диаграммы, необходимые для унитарной теории.

К несчастью, вторично квантованное действие и геометрия суперструны относятся к завершающим характеристикам разрабатываемой модели. Действительно, как явствует из этой перспективы, интересующая нас модель в течение последних двадцати лет разрабатывалась в обратном направлении, начиная со случайного открытия ее квантовой теории в 1968 году!

Напротив, когда Эйнштейн впервые открыл общую теорию относительности, он начал с физических принципов, таких, как принцип эквивалентности гравитационной и инерциальной масс, и сформулировал его на языке общей ковариантности. После того как геометрия была найдена, он выписал действие как единственное решение задачи. Позднее были найдены классические решения уравнений в формализме искривленных многообразий, дающие первые удачные модели поведения Вселенной в космологических масштабах. Наконец, последним шагом в развитии ОТО была разработка квантовой теории гравитации. Решающие этапы исторического развития ОТО можно поэтому представить следующей схемой:

Кроме того, и ОТО, и теория Янга-Миллса-это зрелые теории: обе они могут быть сформулированы на основании аксиом, выделяющих геометрические и физические допущения, служащие фундаментом каждой из них. Теория суперструн только начинает вступать в эту стадию развития.

Замечательно, что теория Янга-Миллса и теория гравитации представляют собой единственное решение, удовлетворяющее двум простым геометрическим требованиям:

(1) Глобальная симметрия

Свободная теория должна описывать распространение «чистых», свободных от духов полей со спинами 1 и 2, преобразующихся как неприводимые представления группы и группы Лоренца.

(2) Локальная симметрия

Теория должна быть локально инвариантной относительно преобразований группы и общековариантной.

Замечательно, что совместное действие теории Янга-Миллса и теории гравитации является единственным решением, удовлетворяющим

этим двум простым аксиомам:

(Первая аксиома содержит в себе реальную физическую сущность теории и не может быть включена в формулировку второй аксиомы. Есть бесконечно много общековариантных и -симметричных инвариантов, так что нам необходима первая аксиома, чтобы включить в теорию физические соображения и выбрать неприводимые представления базисных полей. Под «чистыми» полями мы понимаем свободные от духов поля, имеющие самое большее две производные, что исключает теории содержащие производные высших порядков.)

Возникает вопрос: что соответствует этим двум аксиомам в теории суперструн? Предстоит большая работа, чтобы сделать возможной чисто геометрическую формулировку теории струн, но наиболее многообещающая попытка это сделать представлена в гл. 8, где обсуждается геометрическая формулировка полевой теории струн.

Порядок изложения в этой книге, конечно, должен отражать тот факт, что теория развивалась в обратном направлении. По причинам педагогического характера мы в основном будем следовать историческому развитию теории. Поэтому часть I, в которой вводится теория, возникающая из первичного квантования, будет порой производить впечатление неупорядоченного набора условных допущений, отбор которых производился без всяких руководящих принципов. По этой причине мы предпочли в части I особо подчеркнуть подход к теории струн с помощью континуальных интегралов или функционалов. Только фейнмановские континуальные интегралы дают нам формализм, позволяющий вывести другие формализмы, например формализм гармонических осцилляторов. Хотя этот подход к квантовой механике по-прежнему весьма неуклюж по сравнению с истинно вторичным квантованием, но это самый удобный формализм для того, чтобы свести концы с концами в теории первичного квантования.

В части II настоящей книги мы обсудим собственно теорию поля, из которой можно вывести все результаты теории, исходя из одного действия. Однако мы снова будем следовать истории развития теории и представим теорию поля от результатов к основам. Мы начнем с теории нарушения симметрии, а затем опишем возможный вариант геометрической теории.

Наконец, в части III будет изложена «феноменология» струн. Хотя, может быть, слишком самонадеянно пока описывать феноменологию, начиная с энергий 1019 ГэВ, важно установить, какого рода предсказания дает эта теория.

Однако чтобы действительно оценить достижения и возможные недостатки теории суперструн, нам следует попытаться понять исторические затруднения, преследовавшие физиков в течение последних пяти десятилетий. Поэтому обратимся теперь к краткому обзору

развития калибровочных теорий, чтобы можно было оценить трудность построения конечной теории гравитации. Мы также вкратце обрисуем историю развития теории суперструн.