§ 1.3. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ТОЧЕЧНЫЕ ЧАСТИЦЫ

Начнем наше обсуждение с анализа простейшей из всех возможных систем - классической нерелятивистской точечной частицы. Как ни странно, большая часть анализа этой простой динамической системы прямо переносится в теорию суперструн. Язык, которым мы будем пользоваться, это формализм континуального интеграла, который настолько гибок, что с одинаковой легкостью может описывать первично квантованные точечные частицы и вторично квантованные калибровочные поля.

Как и в классической механике, исходной точкой является лагранжиан точечной частицы:

Здесь частица движется в поле внешнего потенциала. Собственно физика заключается в утверждении, что действие должно быть минимальным. Уравнения движения можно вывести из минимизации действия:

Чтобы вычислить уравнения движения, введем малые вариации траектории частицы:

При этих малых вариациях действие изменяется следующим образом:

Интегрируя по частям, получаем следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

Для нашей точечной частицы уравнения движения принимают вид

что соответствует обычным классическим ньютоновским уравнениям движения.

Кроме лагранжева формализма классической механики существует также гамильтонов формализм. Вместо положения и скорости в качестве фундаментальных объектов можно взять положение и импульс:

При таком определении сопряженной переменной получаем:

Наконец, скобки Пуассона для импульсов и координат даются формулой

Знаменитая теорема классической механики утверждает, что можно показать тождественность принципа наименьшего действия и уравнений движения Ньютона. Начав с принципа наименьшего действия, можно вывести ньютоновы законы движения, и наоборот:

Эта эквивалентность, однако, нарушается на квантовом уровне. В рамках квантовой механики существует фундаментальное различие между этими двумя описаниями: уравнения движения служат лишь приближенным описанием подлинного квантового поведения материи. Поэтому принцип наименьшего действия является единственным приемлемым подходом к квантовой механике.

Теперь заново сформулируем основы квантовой механики посредством фейнмановского континуального интеграла [44]:

(1) Вероятность того, что частица переместится из точки а в точку есть квадрат модуля некоторого комплексного числа, а именно

функции перехода

(2) Функция перехода равна сумме определенных фазовых множителей, зависящих от действия эта сумма берется по всем возможным траекториям, соединяющим точку а с точкой

Здесь постоянную к можно определить из соотношения

в котором промежуточная сумма берется по траекториям, проходящим через все возможные промежуточные точки

Второй из этих принципов означает, что частица «чувствует» все возможные траектории, соединяющие а с какими бы сложными они ни были. Мы вычисляем указанный фазовый множитель для каждой из бесконечного множества траекторий. Затем фактор перехода для траектории, ведущей из а в вычисляется суммированием всех возможных фазовых множителей (см. рис. 1.6).

Замечательно, что сущность квантовой механики исчерпывается этими двумя принципами. Все наиболее важные выводы квантовой механики, являющие собой разительный отход от классической механики,

Рис. 1.6. Важнейшее различие между классической и квантовой механикой. В классической механике предполагается, что частица движется по одной единственной траектории между двумя точками, определяемой либо уравнениями движения, либо принципом наименьшего действия. Напротив, квантовая механика суммирует вклады вероятностной функции (основанной на действии) для всех возможных траекторий между двумя точками. Хотя классическая траектория является наиболее вероятной, в принципе все возможные траектории вносят свой вклад в континуальный интеграл. Таким образом, принцип действия является более фундаментальным на квантовом уровне, чем уравнения движения.

могут быть получены из этих двух так невинно выглядящих принципов! В частности, они подытоживают сущность квантовомеханической интерпретации эксперимента с двумя щелями, который в свою очередь выражает сущность самой квантовой механики.

На этом этапе должно быть ясно, что результаты классической механики могут быть воспроизведены из наших двух допущений в некотором приближении. Заметим, что для значений больших по сравнению с постоянной Планка, фазовый множитель быстро флуктуирует, что приводит к взаимному погашению вкладов от этих траекторий:

Поэтому из всех вкладов в континуальный интеграл сохраняются лишь те, для которых отклонение действия от классической траектории имеет тот же порядок, что и постоянная Планка:

Мы видим, что уравнения Эйлера-Лагранжа движения частицы воспроизводятся лишь в определенном классическом пределе, а именно при стремлении постоянной Планка к нулю. Поэтому величина постоянной Планка в конце концов определяет вероятность того, что частица пройдет по траекториям, запрещенным классической механикой. Мы видим, что истоки принципа неопределенности Гейзенберга воплощены в приведенных выше двух принципах.

Теперь попробуем заново сформулировать их более строго с помощью континуального интеграла. Второй принцип теперь запишется в виде

где

и

Здесь индекс нумерует промежуточных точек, разделяющих интервал между начальной и конечной координатами. Теперь перейдем к пределу

Существенно важно понимать, что интегрирование по это не

обычное интегрирование по переменной х. Фактически это произведение всех возможных интегралов по всем промежуточным точкам между точками Это решающее отличие функционального интеграла от обычного является сердцевиной формализма континуального интеграла.

Этот бесконечный ряд интегралов в свою очередь эквивалентен суммированию по всем возможным траекториям из а в Ь. Поэтому следует проявлять осторожность, включая нормирующие множители при выполнении интегрирования по бесконечному числу промежуточных точек.

Если взять простой случай все функциональные интегралы можно вычислить аналитически. Это гауссов интеграл, который, к счастью, принадлежит к небольшому числу функциональных интегралов, вычисляемых аналитически. Одно из важных затруднений метода континуального интеграла состоит в том, что немногие интегралы могут быть вычислены. Мы имеем

Мы будем использовать эту формулу повсюду в этой книге.

Теперь разобьем траекторию на бесконечное число промежуточных точек (Заметим, что функциональное выражение содержит интегрирование по всем возможным значениям промежуточной точки так что мы не можем ожидать, что и будут близки друг другу даже при малых шагах по времени.) Запишем

Чтобы выполнить функциональное интегрирование по бесконечному числу промежуточных точек, мы будем повторно пользоваться интегралом Гаусса:

Один из решающих моментов, на который следует обратить внимание, - то, что интегрирование в одной из промежуточных точек дает другой интеграл Гаусса, в котором эта промежуточная точка удалена. В этом состоит главная причина того, что возможно осуществить функциональное интегрирование по бесконечному числу промежуточных точек.

Наконец, континуальный интеграл, который мы намерены

вычислить, дается формулой

(где мы для краткости не выписываем векторный индекс ). Используя предыдущее соотношение (1.3.20), запишем окончательный результат в виде

Функция вероятности перехода К имеет несколько очень любопытных свойств. Например, она служит решением волнового уравнения

где больше

Ниже мы обобщим эти выражения на случай свободно распространяющихся струн и обнаружим, что они переносятся на функции Грина с небольшими, но важными изменениями.

Чтобы показать взаимосвязь между гамильтоновой и лагранжевой формулировками в подходе континуального интеграла, полезно ввести полный набор промежуточных состояний при разбиении траектории, ведущей из a в b. Будем рассматривать переменную как оператор действующий на множестве собственных состояний:

Запись означает собственное состояние оператора координаты; - это оператор, собственное значение которого равно числу Тогда полноту множества собственных состояний для координат и импульсов можно представить формулами

Нормируем состояния следующим образом:

(Поскольку в формализме континуального интеграла неизменно появляется бесконечно много нормировочных множителей, мы часто будем

опускать их для ясности изложения. Это не умалит общности, поскольку при желании мы всегда сможем снова ввести их в континуальный интеграл.)

С помощью этих собственных состояний мы можем теперь переписать выражение для функции Грина, описывающей переход из точки в точку

Чтобы вывести предыдущее выражение (1.3.22) для амплитуды перехода, вставим полный набор промежуточных состояний в каждой промежуточной точке между

Теперь исследуем каждый инфинитезимальный пропагатор с помощью гамильтониана, который запишем как функцию координат и производных по координатам:

Тогда функция перехода для бесконечно малого интервала дается выражениями

Очень важно отметить, что континуальный интеграл позволил перейти от классических к квантовым коммутаторам. Гамильтониан можно выразить либо как функцию производных по координатам, либо как функцию канонических импульсов вследствие тождества

Это позволяет сделать важное отождествление:

В функциональном формализме из этого тождества возникает важное соответствие между импульсами и частными производными.

Собирая все вместе, мы можем теперь записать полную амплитуду перехода в виде

где

(Как обычно, мы опустили все промежуточные нормирующие множители, являющиеся просто кратными Заметим, что функциональный интеграл, который прежде был функцией только координат, теперь является функцией и импульсов, и координат.

Чтобы снова получить исходный лагранжиан, мы можем выполнить интегрирование по аналитически, поскольку это простой интеграл Гаусса, и мы получим

Тем самым мы сделали переход между лагранжевым и гамильтоновым формализмами с помощью функциональных методов. Мы можем использовать любое из двух уравнений:

В функциональном смысле единственное различие между этими двумя выражениями состоит в том, по чему мы интегрируем: по координатам или по некоторой комбинации координат и импульсов. Вероятность перехода можно представить любой из двух формул: