7. МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ СИСТЕМ

Метод экспериментального определения функции как функции второго аргумента, изложенный выше, требует многократного приложения к исследуемой системе -функции в различные моменты времени и последующей обработки получающихся при этом кривых. Ниже излагается более простой способ экспериментального определения функции как функции второго аргумента, требующий лишь однократного приложения -функции. Реализация этого метода удобна при помощи математических моделей и основана на понятии сопряженных систем. Сущность этого метода (см. [7], [9]) заключается в следующем.

Представим нестационарную систему, описываемую уравнением (1.1), как последовательное соединение двух динамических элементов: интегрирующего и дифференцирующего, описываемых соответственно уравнениями (1.8) и (1.14). Структурная схема интегрирующего элемента изображена на рис. 1.3, а дифференцирующего элемента — на рис. 1.4.

Предположим, что уравнению (1.8) соответствует импульсная переходная функция так что

и найдем уравнение, которому удовлетворяет функция

Предварительно определим сигнал и который нужно подать на вход интегрирующего элемента, чтобы получить на выходе В-функцию. Если то из уравнения (1.8) получим

и соотношение примет вид

Подставляя соотношение (1.76) в (1.77), найдем

В этом уравнении независимой переменной является уже переменная х.

Итак, если функция рассматриваемая как функция первого аргумента удовлетворяет уравнению (1.8), то эта же функция рассматриваемая как функция второго аргумента х, удовлетворяет уравнению (1.78), сопряженному относительно уравнения (1.8). Оператор

называется, как это уже указывалось выше, сопряженным по отношению к оператору [формула (1.3)]. Производя в уравнении (1.78) замену переменной получим

причем

Структурная схема, соответствующая уравнению (1.80), приведена на рис. 1.16, а. Если теперь учесть, что выход — коэффициента сначала число раз дифференцируется, а затем раз интегрируется, то схема, изображенная на рис 1.16, а, может быть приведена к виду, показанному на рис. 1.16, б, представляющему собой окончательную схему моделирования для получения импульсной переходной функции , в которой независимой переменной является — параметром. Эта схема называется сопряженной по отношению к схеме, приведенной на рис. I. 3. Сравнивая схемы (рис. 1.3 и 1.16, 6) можно сформулировать следующее правило для преобразования исходной схемы в сопряженную [9].

Для того чтобы преобразовать исходную схему в сопряженную, необходимо:

1) поменять местами входы и выходы интеграторов и блоков переменных коэффициентов;

2) сумматоры заменить точками разветвления (и наоборот);

3) в блоках переменных коэффициентов вместо аргумента ввести аргумент

Найдем теперь уравнение, которому удовлетворяет импульсная переходная функция дифференцирующего элемента.

Рис. 1.16. Структурная схема сопряженного интегрирующего элемента: а — исходная; б — преобразованная

Согласно уравнению (1.14) уравнение для имеет вид

Но

следовательно, вместо уравнения (1.83), рассматривая как параметр, можно написать

Уравнение (1.84) является сопряженным уравнением для дифференцирующего элемента.

Производя так же, как и ранее, замену переменной получим

Структурная схема, соответствующая уравнению (1.85), приведена на рис. 1.17. Сравнивая рис. 1.4 и 1.17, легко видеть, что правило построения сопряженной дифференцирующей цепи остается тем же, что и для интегрирующей цепи.

Рис. 1.17. Структурная схема сопряженного дифференцирующего элемента

Рассмотрим теперь последовательное соединение дифференцирующего и интегрирующего динамических элементов (рис. 1.18). Выше было показано, что импульсная переходная функция всей системы определяется выражением (1.72).

Рис. 1.18. Система, сопряженная системе, состоящей из последовательного соединения дифференцирующего и интегрирующего элементов: а — исходная схема; б - сопряженная схема

Рис. 1.19. Система, сопряженная системе с единичной обратной связью: а — исходная схема; б — сопряженная схема

Пользуясь теми же рассуждениями, что и в случае равенства (1.84), соотношение (1.72) можно привести к виду

Из формулы (1.86) следует, что структурная схема системы, сопряженной исходной системе, приведенной на рис. 1.18, а, имеет вид, изображенный на рис. 1.18, б, т. е. состоит из последовательно

соединенных сопряженных интегрирующего и дифференцирующего элементов.

Аналогичным образом (см., например, [9]) можно показать, что система, сопряженная системе с единичной обратной связью (рис. 1.19, а), имеет вид, показанный на рис. 1.19, 6, т. е. что для получения сопряженной системы так же, как и в предыдущих случаях, следует изменять направления всех линий связи

Таблица 1.1 (см. скан)

на обратные, а исходные динамические элементы заменить на сопряженные. Следует заметить, что сопряженная система с постоянными параметрами не отличается от исходной системы.

Если исходная система состоит из нескольких подсистем, то для получения сопряженной системы направления всех связей между подсистемами изменяются на обратные, а структура каждой из подсистем преобразуется так, как это было приведено выше. В табл. 1.1 приведены примеры построения сопряженных систем

Изложенные выше правила преобразования исходных систем в сопряженные позволяют получать соответствующие им импульсные переходные функции как функции второго аргумента х в результате однократного приложения дельта-функции.