2. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

С помощью структурных преобразований любая многоконтур-ная система автоматического регулирования приводится к одноконтурной, имеющей вид, показанный на рис. XII. 1. Объединенное динамическое звено линейной части с передаточной функцией является фильтром низких частот и ординаты его амплитудной характеристики с ростом частоты уменьшаются. Поэтому на входе эквивалентной передаточной функции нелинейного элемента или приведенного эквивалентного звена наблюдается периодический сигнал в виде

Точное значение сигнала на выходе нелинейного элемента (звена) обозначим через а его первое приближение через

Тогда для двузначной нечетной нелинейности будем иметь

и

где — коэффициенты гармонической линеаризации.

Ошибку в выходном сигнале относительно первого приближения можно записать в виде

Функция является периодической функцией с периодом и ее среднеквадратическое значение определяется с помощью следующего выражения:

Подставляя в это выражение формулы (XII.11) получим

Для определения минимума среднеквадратической ошибки воспользуемся следующими равенствами:

С помощью первого равенства (XII. 16) из выражения (XII. 15) найдем

а используя второе равенство (XII.16) из выражения (XII. 15), будем иметь

Из выражения (XII. 17) определим

а из выражения (XII.18) получим

Зависимости (XII.19) и (XII.20) обеспечивают минимум среднеквадратической ошибки при замене точной функции ее первым приближением и являются формулами для определения первых коэффициентов ряда Фурье.

При определении формул (XII. 19) и (XII.20) было положено:

а входной сигнал имеет вид

Производная от входного сигнала будет

Подставив выражения (XII.22) и (XII.23) в равенство (XII.21), получим следующую зависимость [см. формулу (Х.3)]:

которая и представляет собой гармоническую линеаризацию нелинейной характеристики а функция и — коэффициенты гармонической линеаризации [8]. Тогда нелинейное дифференциальное уравнение порядка после замены зависимостью (XI 1.24) превращается в гармонически линеаризованное дифференциальное уравнение, у которого предпоследний коэффициент зависит от амплитуды А и частоты колебаний, а последний коэффициент только от амплитуды А.

В гл. IX было показано, что

где — эквивалентная амплитуда нелинейного элемента;

— эквивалентная фаза нелинейного элемента.

Функции связаны с коэффициентами гармонической линеаризации с помощью следующих зависимостей:

и

Для приведенной эквивалентной передаточной функции, по аналогии с выражениями (XII.25) — (XII.27), запишем:

С целью повышения точности вычисления коэффициентов гармонической линеаризации воспользуемся обобщением приведенных ранее формул на высшие гармонические составляющие. Без потери общности изложения предположим, что нелинейный элемент представляет собой симметричную нечетную двузначную нелинейность. На вход этой нелинейности поступает сигнал вида

где А — амплитуда первой гармоники;

— амплитуда третьей гармоники;

— сдвиг фазы составляющей сигнала по третьей гармонике.

Введем следующие обозначения: относительная амплитуда третьей гармоники; фазовый угол. Тогда выражение (XII.31) можно записать в виде

и на выходе нелинейности будем иметь сигнал

в котором содержатся все целые гармонические составляющие.

Если для нечетной нелинейности ограничимся первой и третьей гармониками, то в виде второго приближения формулу (XI 1.33) можно записать как

В этом случае ошибку воспроизведения выходного сигнала можно определить в виде

Воспользовавшись, как и в ранее рассмотренном случае, формулой (XII. 14), получим

Для определения минимума квадрата ошибки составим следующие равенства:

С помощью равенств (XII.37) и выражения (XII.36) найдем

(см. скан)

После выполнения соответствующих преобразований из выражений (XII.38) и получим

Из формул (XII.39) и (XII.41) следует, что

Из формул (XII.42) — (XII.43) вытекает, что минимум среднеквадратической ошибки при замене точной функции ее вторым приближением имеет место тогда, когда коэффициенты гармонической линеаризации являются первыми и третьими членами ряда Фурье.

Для общности изложения будем считать, что функции, входящие в выражения (XII.42) — (XII.44), являются обобщенными функциями [9], [14]. Разложим правые части этих выражений в ряд Тейлора и возьмем первые члены разложения ряда.

Тогда получим обобщенные формулы для определения коэффициентов гармонической линеаризации в следующем виде:

(см. скан)

В последних четырех выражениях введены следующие обозначения:

где параметр, учитывающий влияние остаточных членов разложения обобщенных функций в ряд Тейлора. При произвольной форме нелинейности имеем

Будем считать, что — достаточно малая величина и ее можно положить равной нулю (в § 4 настоящей главы будет произведена оценка точности метода обобщенной гармонической линеаризации). Тогда формулы обобщенной гармонической линеаризации можно переписать в виде

(см. скан)

Формулы (XI 1.46) и (XI 1.47) перепишем в виде]

где

В формулах (XII.50) и (XII.51) функции — коэффициенты гармонической линеаризации по первой гармонике; — добавочные коэффициенты гармонической линеаризации, учитывающие влияние третьей гармоники на первую. Формулы (XI 1.48), (XI 1.49) запишем в виде

где

В формулах (XI 1.52) и коэффициенты гармонической линеаризации по третьей гармонике. Коэффициенты являются добавочными коэффициентами гармонической линеаризации.

После выполнения обобщенной гармонической линеаризации характеристику нелинейного элемента [по аналогии с зависимостью (XII.24)] представим в виде

где

Обобщенные формулы гармонической линеаризации для однозначных нечетных нелинейностей можно получить из формул (XII.46) — (XII.49):

(см. скан)

С помощью формул (XII.55) — (XII.58) обобщенные коэффициенты гармонической линеаризации перепишем в виде

Формулы для вычисления основных и дополнительных коэффициентов гармонической линеаризации для некоторых типов однозначных и двузначных нелинейностей, а также графики для основных и дополнительных коэффициентов гармонической линеаризации в зависимости от амплитуды Л приведены в приложении VI, VII табл. 1 и 2.