ГЛАВА III. ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА И СИНТЕЗА НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ (МЕТОД СВЕРТКИ)

В гл. I были рассмотрены некоторые методы анализа и синтеза систем с переменными параметрами, которые основывались на рассмотрении дифференциальных или интегральных уравнений системы в области вещественной переменной за исключением метода замороженной «передаточной функции».

В настоящей главе излагается метод анализа и синтеза нестационарных систем в области комплексной переменной Основная идея метода состоит в непосредственном применении к исходному дифференциальному уравнению системы с переменными параметрами преобразования Лапласа, в результате которого оно сводится к интегральному или дифференциальному уравнению в области комплексной переменной Метод основан на применении теоремы свертки в области комплексной переменной и поэтому обычно называется, методом свертки. Впервые такой подход к анализу нестационарных систем был предложен в работе [6] и получил дальнейшее развитие в работах [1] и [10].

В общем случае при любом заданном воздействии метод свертки приводит к интегральному уравнению второго рода в комплексной области относительно преобразования Лапласа для интересующей нас переменной Решая это уравнение методом последовательных приближений, а затем переходя в область вещественной переменной при помощи теории вычетов или частотных методов, можно найти изменение величины на выходе, вызываемое заданным воздействием

Если воздействие имеет вид дельта-функции, то метод свертки приводит к интегральному уравнению относительно параметрической передаточной функции, которое для нестационарных систем с полиномиальными коэффициентами сводится к дифференциальному уравнению, а для нестационарных систем с экспоненциальными коэффициентами — к дифференциально-разностному уравнению относительно параметрической передаточной функции в области комплексной переменной

Дифференциальное уравнение для передаточной функции в комплексной области полученное при помощи метода свёртки,

предложенного в работе [6], имеет то преимущество по сравнению с дифференциальным уравнением в вещественной области полученным Заде [14, 15], что его порядок может быть значительно ниже (он равен наивысшей степени содержащейся в полиномиальных коэффициентах уравнения) порядка исходного уравнения, между тем как порядок дифференциального уравнения, полученного Заде, равен порядку исходного уравнения. Кроме того, метод свертки позволяет наиболее естественным и простым путем обобщить частотные методы анализа и синтеза на системы с переменными параметрами.

В настоящее время сформировались два основных подхода к решению задач анализа и синтеза нестационарных систем автоматического регулирования методом свертки.

Первый из них основан на решении интегрального уравнения для методом последовательных приближений. Оказывается, что в ряде случаев такой подход позволяет получить [10] выражения для в замкнутой форме. В частности, для широко распространенного на практике класса систем с периодически изменяющимися параметрами, к которому относятся следящие системы с амплитудно-модулированным сигналом, на основе такого подхода удается получить передаточную функцию разомкнутой системы в конечной форме и обобщить на этот класс, систем все известные приемы частотного метода анализа и синтеза.

Второй подход основан на решении дифференциального уравнения для передаточной функции в комплексной области. Этот подход позволил разработать излагаемый в настоящей главе метод анализа и синтеза также весьма распространенного на практики класса нестационарных систем регулирования конечного состояния, основанный на применении логарифмических частотных характеристик.