2. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА КАЧЕСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВНЕШНИХ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ПОМЕХ

В отличие от предыдущего параграфа здесь будут рассматриваться несимметричные вынужденные колебания, которые имеют большое значение при решении ряда практических задач. Во-первых, определение вынужденных колебаний систем с несимметричными нелинейностями. Во-вторых, определение вынужденных колебаний нелинейных систем при добавочном постоянном внешнем воздействии, когда определяется сумма статической и установившейся колебательной ошибок системы (для нелинейных систем это имеет особый смысл, так как ошибки здесь не складываются, как в линейных системах, вследствие чего статическая ошибка нелинейной системы в присутствии вынужденных колебаний будет иметь другую величину, чем без них). В-третьих, определение устойчивости и динамических качеств нелинейных систем при наличии внешних синусоидальных вибрационных помех. В-четвертых, вибрационное сглаживание нелинейностей при помощи вынужденных колебаний.

Что касается первой и второй из этих задач, то они решаются совершенно аналогично определению статических ошибок автоколебательных систем (§ 4 гл. X), но с изменением методики отыскания вынужденной колебательной составляющей решения в соответствии с § 1 данной главы.

Наиболее практически важной является третья из указанных задач, на которой мы и остановимся (четвертая решается попутно как частный случай третьей) [7].

Рассмотрим произвольную систему автоматического управления, описываемую нелинейным дифференциальным уравнением

где — заданная нелинейная функция (криволинейная, кусочнолинейная, релейная, петлевая и т. п.), характеризующая нелинейность, помещенную в любом месте системы (например, рис. XI.6). Через обозначена внешняя вибрационная помеха вида

а через внешнее воздействие (управляющее или возмущающее), которое будем считать медленно меняющимся по сравнению с частотой вибраций

Рис. XI.6. Схема нелинейной системы автоматического регулирования

Учитывая, как и ранее, свойство фильтра, будем искать решение для переменной х приближенно в виде

где — медленно меняющаяся составляющая (полезный сигнал на входе нелинейного звена);

— амплитуда и фаза вынужденных колебаний (вибраций), которые могут медленно меняться во времени при изменении

Рис. XI.7. Характеристики полезного сигнала и вибрационной помехи

В соответствии с этим произведем гармоническую линеаризацию нелинейности

где определяются прежними формулами причем Они получают вид (см. в приложении IV табл. 2)

и могут быть представлены для удобства расчета графически, как показано, например, на рис. XI.7 для нелинейности типа насыщения.

Подстановка выражения (XI.31) позволяет разбить заданное уравнение системы (XI.28) на два:

соответственно для полезного сигнала и для вибрационной помехи. Это разделение уравнений сохраняет нелинейные свойства системы, связанные с несправедливостью принципа суперпозиции решений, потому что, согласно зависимостям (XI.32) и (XI.33), решения уравнений (XI.34) и (XI.35) существенно взаимосвязаны.

В общем случае этапы решения уравнений могут быть следующими:

1) из уравнения с учегом формул (XI.33) определяются амплитуда А и фаза вибраций на выходе нелинейного звена как функции величины полезного сигнала т. е.

вид этих функций зависит от амплитуды В и частоты внешних вибраций, а также от параметров самой системы;

2) подставив в формулу (XI.32), исключим из нее амплитуду А и найдем так называемую функцию смещения

которая послужит характеристикой данного нелинейного звена по полезному сигналу; вид функции смещения тоже будет зависеть от внешних вибраций (от ) и от параметров системы;

3) после этого уравнение (XI.34) принимает вид

и решение его дает процесс изменения полезного сигнала во времени

4) подставив последнее в формулы (XI.36), найдем соответствующее медленное изменение во времени.

Функция смещения обычно представляет собой плавную кривую, даже если исходная нелинейность скачкообразна. Поэтому она часто может быть подвергнута обычной линеаризации

где определяется графически как крутизна кривой или аналитически

Для всех нечетно-симметричных нелинейностей как однозначных, так и петлевых вместо формулы (XI.40) можно принять следующую:

Это значительно упрощает вычисления, так как в этом случае мы пользуемся непосредственно исходным выражением (XI.32) для без отыскания функции смещения . В приложении IV табл. 1 приведены выражения величины для некоторых типовых нелинейностей, полученные по формуле (XI.41) с использованием формул ), указанных в приложении V табл. 2 и 3.

Коэффициенты гармонической линеаризации при получат вместо формул (XI.33) вид и Поэтому для определения А при можно целиком воспользоваться данными § 1 (графическим или аналитическим способом).

Итак, в результате линеаризации уравнения (XI.39) формула (XI.40) для полезного, сигнала становится линейной:

Но величина коэффициента усиления полезного сигнала в нелинейном звене будет зависеть: во-первых, от амплитуды и частоты внешней помехи; во-вторых, от формы нелинейности и, в-третьих, от структуры и параметров системы в целом, поскольку от них зависит величина , входящая в рассмотрение при вычислении величины

От этих факторов, в том числе и от внешней помехи, будет зависеть и граница устойчивости системы, определяемая характеристическим уравнением

или при использовании частотных методов — от передаточной функции разомкнутой системы

От тех же факторов (и от внешней помехи) будут зависеть и величины статических и динамических ошибок системы по полезному сигналу, определяемых по уравнениям (XI.42) и (XI.43) или по передаточным функциям разомкнутой системы (XI.44) или замкнутой системы

Во всех случаях определения влияния структуры и параметров системы в целом на статические и динамические качества системы по полезному сигналу не надо забывать, что с изменением их изменяется и величина Поэтому предварительно необходимо

найти зависимость от соответствующего параметра системы. Для этого достаточно знать зависимость величины А, определяемой формулой (XI. 11).

Основная задача при определении коэффициента усиления полезного сигнала в нелинейном звене состоит в определении величин амплитуды А вибраций на входе нелинейного звена (при ), которую нужно подставить в выражение взятое из приложения V табл. 1. Решение задачи существенно упрощается в следующих частных случаях:

1) линейная часть системы в целом, характеризующаяся передаточной функцией

практически не пропускает вибраций с частотой но они пропускаются передаточной функцией

2) вибрации не пропускаются только одним каким-либо блоком, например объектом (см. рис. XI.6), но пропускаются внутренней обратной связью, вследствие чего линейная часть системы в целом (XI.46) может пропускать колебания с частотой

3) внешние высокочастотные вибрации подаются непосредственно на нелинейное звено и не пропускаются последующими звеньями (этот простейший частный случай представляет собой известную задачу о вибрационном сглаживании нелинейностей).

Рассмотрим каждый из них отдельно.

1. Если передаточная функция линейной части [зависимость (XI.46)] не пропускает вибраций с частотой то, разделив уравнение (XI.35) на проведя замену в выражении (XI.4) и подставив — с учетом указанного свойства получим следующую простую формулу для вычисления амплитуды:

где вещественные и мнимые части выражений соответственно

Дальнейшее вычисление проводится согласно приложению V табл. 1 с подстановкой найденного значения А. Последнее зависит в данном случае от внешних вибраций (от от формы нелинейности и параметров системы, входящих в

После определения все свойства системы по полезному сигналу определяются по полным уравнениям

2. Если вибрации с частотой не пропускаются только одним блоком системы (например, объектом, рис. XI.6, то для вычисления амплитуды вибраций можно, исключив этот блок, написать вместо уравнения (XI.35) новое уравнение системы без этого блока (рис. XI.8, а):

и по аналогии с формулой (XI. 11) уравнение для определения А:

где — вещественные и мнимые части соответственно для выражения и для выражения при

Результат решения уравнения (XI.49) будет иметь вид графика типа рис. XI.8, б, но вычисления здесь будут проще, чем по формуле (XI. 11), вследствие более низкого порядка уравнения (XI.48).

Дальнейший ход определения коэффициента и исследование уравнений (XI.42) — (XI.45) остаются прежними.

Рис. XI.8. Упрощенный контур для расчета вибраций (а) и графики, связывающие (б)

В данном случае рассматривается система с одной нелинейностью. Однако этот метод можно распространить также и на системы с несколькими нелинейностями.

3. Известная задача о вибрационном сглаживании нелинейности получается как частный случай, когда внешние высокочастотные вибрации подаются непосредственно на вход нелинейного звена и не пропускаются последующими звеньями. В этом случае на входе нелинейного звена будет единственная вибрационная составляющая, определяемая выражением (XI.29), вследствие чего в решейии (XI.30) сразу получим

При этом нет необходимости в определении функции смещения а достаточно воспользоваться готовым исходным выражением (XI.32), подставив в него благодаря чему просто определится величина коэффициента усиления полезного сигнала в нелинейном звене (в приложении V табл. 1) будет Она (в отличие от прежнего) будет зависеть только от амплитуды внешних вибраций и от формы нелинейности и не будет зависеть ни от частоты ни от структуры и параметров системы

(если только последующие за нелинейностью звенья системы не пропускают вибраций с данной частотой

Пример 3. Пусть нелинейная система (рис. XI.6) описывается уравнением

с нелинейностью типа насыщения, для которой выражения изображены графически на рис. XI.7, причем Свойства системы таковы, что здесь имеет место второй случай из описанных выше. Уравнение (XI.49) для определения амплитуды А вынужденных вибраций на входе нелинейного звена при принимает вид

Решение его получим в форме графика типа рис. XI.8, б.

Рис. ХI.9. Зависимости коэффициентов усиления полезного сигнала в нелинейном зяене от амплитуды и частоты вибраций: а) зависимость от амплитуды; б) зависимость от частоты; в) граница устойчивости нелинейной системы в зависимости от вибрационной помехи

По приложению V табл. 4 определяем зависимость от величины амплитуды А (рис. XI.9, а), что с учетом найденной позволяет определить зависимость коэффициента усиления полезного сигнала в нелинейном звене от вибрационной помехи. Эта зависимость от изображена графически на рис. XI.9, б.

Характеристическое уравнение системы по полезному сигналу будет

откуда с помощью критерия Гурвица находим следующее условие устойчивости системы (по полезному сигналу):

Используя зависимость от (рис. XI.9, б), найдем границу устойчивости системы по полезному сигналу на плоскости (рис. XI. 9, в). Она показывает, что данная система теряет устойчивость при определенной величине амплитуды внешней вибрационной помехи для каждой частоты ее Это является следствием того, что под действием вибраций существенно меняется коэффициент усиления полезного сигнала в нелинейном звене так, что падает эффективность воздействия регулирующего органа на объект.

Также можно найти и смещение границы устойчивости на плоскости любых двух параметров системы при изменении внешних вибраций и .

Аналогично решается задача и при действии случайных помех на нелинейную систему [6], [7].