8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Характерной особенностью систем автоматического регулирования с переменными параметрами так же, как и обычных стационарных систем, является наличие обратной связи (см. рис. 1.20). Дифференциальные уравнения системы с помощью обозначений,

Рис. 1.20. Структурная схема системы автоматического регулирования с переменными параметрами: а — общий случай; — не содержащая параллельного корректирующего устройства; в — не содержащая последовательного корректирующего устройства

принятых на рис. 1.20, можно представить в следующем виде:

Рассмотрим зависимости между импульсными переходными функциями нестационарной системы (рис. 1.20). Для этой системы с разомкнутой главной обратной связью и с воздействием в виде дельта-функции можно написать

и

где импульсные переходные функции соответственно системы на рис. 1.20 с разомкнутой главной обратной связью, параллельного корректирующего устройства и последовательного соединения объекта и корректирующего устройства в прямой цепи, причем

Подставляя уравнение (1.92) в (1.93), получим

или

Но согласно схеме на рис. 1.20, а или 1.21

Формулы (1.94) — (1.96), представляющие собой интегральные уравнения, позволяют найти импульсную переходную функцию замкнутой системы по импульсным переходным функциям входящих в ее состав динамических элементов.

Если положить, что и система (рис. 1.20, а) сводится к системе без параллельного корректирующего устройства (рис. 1.20, б), то

В операторной форме уравнения (1.87) — (1.91) можно записать

Пользуясь правилами операторной алгебры, на основании первых четырех уравнений получим

или

где Е — единичный оператор;

Точно так же на основании уравнения (1.100) и последнего из уравнений (1.98) получим

Подставляя уравнение (1.102) в (1.100), найдем

Операторные уравнения (1.102), (1.103) позволяют по заданным дифференциальным уравнениям динамических элементов найти дифференциальные уравнения соответственно для ошибки и для регулируемой переменной х.

Рис. 1.21. Система с единичной обратной связью

Обозначим операторы, соответствующие дифференциальным уравнениям замкнутой системы, относительно ошибки через и относительно регулируемой переменной через Ф, т. е.

Сравнивая уравнения (1.102) и (1.103) с уравнениями (1.104) и легко заметить, что

Формулы (1.106) и (1.107) по виду имеют большое сходство с формулами для передаточных функций стационарных систем (см. кн. 1, гл. VIII), но в отличие от последних действия над входящими в них операторами должны производиться на основе правил операторной, а не обычной алгебры.

В частном случае, когда

формула (1.101) сводится к виду